Обчислювальний експеримент. Алгоритм роботи з моделлю

Алгоритм роботи з моделлю

– п. 1: додати до вхідними даними параметр с;

в окремій вільній клітинці стовпця Е обчислити значення с_мах згідно (7);

– п. 4: приріст чисельності Δ N обчислювати за виразом (8):

Δ N = ((р – q·N)· N – с)·Δ t.

1. Уведіть такі дані: N ₀ = 250; р = 5; q = 0,01; Δ t = 0,1 і обчисліть значення с_mах.

Примітка. Нехай вас не дивує порівняно велике значення с_mах =625, яке помітно перевершує розмір N ₀ популяції. Згадайте, що квота с чисельно дорівнює кількості особин, що вилучаються з популяції за одиницю часу. За нашими даними кожний проміжок Δ t становить не 1, а 0,1 і, отже, за такий час із популяції буде вилучатись відповідно менша кількість особин, тобто приблизно 63.

2. Як відреагує модель у разі, коли с > с_mах? Перевірте свою здогадку обчислювальним експериментом, наприклад, для введеного з клавіатури с = 635. З таблиці й графіка (рис. 4.10) відразу ж бачимо, що популяція через деякий час невідворотно гине, тому с > с_mах знаходиться поза межами параболи рівноважних станів з рис. 4.9.

Рис. 4.10 Рис. 4.11

3. Тепер дослідимо стан популяції при максимальній швидкості вилову с = с_mах = 625 (рис. 4.11).

3.1. Виведемо на екран таблицю результатів і відповідний графік. Чи відповідають вони очікуваним? Справа в тому, що при даних параметрах в системі із самого початку встановлюється стан рівноваги. При цьому чисельність популяції підтримується на постійному рівні 250 особин. Біологи додали б тут: «за рахунок внутрішнього саморегулювання». Такий рівноважний стан може тривати як завгодно довго, якщо не будуть змінюватися зовнішні умови. Оскільки таких гарантій дати неможливо, то доцільним є дослідження поведінки популяції (фактично, моделі) в умовах незначних відхилень її початкової чисельності відносно рівноважної (в нашому прикладі 250 особин).

Говорячи про рівноважні стани, завжди слід уточнювати питання про стійкість рівноваги. Якщо за невеликих відхилень від рівноважного стану в системі виникають чинники, що повертають її в цей стан, то таку рівновагу називають стійкою. Якщо ж за незначних відхилень від рівноважного стану система продовжує віддалятись від нього, то така рівновага є нестійкою.

3.2. Збільшимо початкову кількість особин N ₀ на 50, тобто
нехай N ₀ = 300. Параметр с залишимо попереднім. Зверніть увагу: чисельність популяції, нарешті, знову стабілізуються на рівні 250 особин (рис. 4.12).

	A	В	C	D	E
	t	Δ N	N	Дано:
				N 0 =
	0,1	-3		p =
	0,2	-2		q =	0,01
	0,3	-2		c =
	0,4	-2		Δ t =	0,1
	0,5	-2
	...	...	...

Рис. 4.12

Припустимо тепер, що за непередбачених обставин чисельність популяції зменшується на 50. Покладемо N ₀ = 250 – 50 = 200 особин. і знову розглянемо таблицю й відповідний графік (рис. 4.13). Виявляється, що при цьому через деякий час популяція гине.

	A	В	C	D	E
	t	Δ N	N	Дано:
				N 0 =
	0,1	-3		p=
	0,2	-3		q=	0,01
	0,3	-3		c=
	0,4	-3		Δ t =	0,1
	0,5	-4
...	...	...	...

Рис. 4.13

Таким чином, приходимо до висновку, що рівновага системи при максимальній швидкості відлову є нестійкою.

4. З’ясуємо, нарешті, що буде відбуватись за умови с < с_mах.
У цьому випадку лінія с<с_mах, як це було встановлено вище, перетинає параболу у двох точках L і Q, симетричних щодо вертикалі, яка проходить через точку N_гр /2. На горизонтальній осі N їм відповідають дві точки N ₁ і N ₂ по обидві сторони від точки N_гр /2=250 і на однакових відстанях від неї: N ₁=200, N ₂=300.

Обчислимо згідно (8) значення параметра с, що має забезпечити рівноважний стан. Отримаємо

с ₁ = (5 – 0.01·200)·200 = 600; с ₂ =(5 – 0.01·300)·300 = 600.

4.1. Перевіримо наявність рівноваги для N ₀ = N ₁ = 200, і N ₀ = N ₂ = 300 при с = 600.

Уведемо по черзі ці значення до умови і, переглядаючи таблицю або відповідні графіки (рис. 4.14), переконуємося в тому, що обидва рази виникає рівновага.

Рис. 4.14

4.2. З’ясуємо, чи є ця рівновага стійкою для N ₁.

Надамо N ₀ значення, дещо більше, ніж N ₁, наприклад, 220. З таблиці можна побачити, що чисельність популяції поступово зростає, наближаючись до 300, як це зображено на рис. 4.15.

	A	B	C	D	E
	t	D N	N	Дано:
				N 0 =
	0,1			p =
	0,2			q =	0,01
	0,3			c =
	0,4			D t =	0,1
	0,5
	...	...	...

Рис. 4.15

	A	В	C	D	E
	t	D N	N	Дано:
				N 0 =
	0,1	-2		p =
	0,2	-3		q =	0,01
	0,3	-3		c =
	0,4	-4		D t =	0,1
	0,5	-4
...	...	...	...

Рис. 4.16(а)

На перший погляд, рис. 4.16(а) показує, що при N ₀ = N ₁ = 180 популяція гине, і це дійсно так, однак що означають негативні значення в правому краю графіка N = N (t) для змінної N, яка за своїм змістом може приймати тільки позитивні значення? Висновок очевидний: негативні значення для N – це результати обчислень, виконуваних комп’ютером, без урахування обмеження N ≥ 0.

З цієї ситуації є два виходи.

1. Побудувати графік тільки для однієї функції N = N (t), для чого в таблиці виділити два стовпчики: А й С (кількість особин N (t). Працюючи далі з «Мастером диаграмм», на першому кроці вибрати тип діаграми «Точечный». Для врахування обмеження N ≥ 0 в меню
«Формат оси» (осі Y) відкрити вкладку «Шкала», де встановити «Минимальное значение» – 0, «Максимальное значение» – 180.
Результат показаний на рис. 16(б).

.

Рис. 4.16(б)

1. Якщо все ж необхідно відобразити на одній діаграмі два графіки N=N (t) і Δ N =Δ N (t), то перед побудовою треба:

1) виділити три стовпці: А, В й С і отримати діаграму, як на рис. 4.16(а);

2) встановити курсор миші на лінію графіка Δ N = Δ N (t) і клацнути правою кнопкою для отримання контекстного меню, в якому вибрати «Формат рядов данных»;

3) у вікні, вибрати вкладку «Ось» і Построить ряд «на вспомогательной оси»;

4) поставити курсор миші на допоміжну вісь, клацнути правою кнопкою й у контекстному меню вибрати «Формат оси», а там у вкладці «Шкала» встановити «Минимальное значение» – -50, «Максимальное значение» – 0, «Цена основных делений» – 10.

Результат показаний на рис. 16(в).

Рис. 4.16(в)

Зверніть увагу, на графіках видно, що функція N=N (t) монотонно спадає від 180 до 0, а функція Δ N =Δ N (t) – монотонно спадає від 0 до-50.

Таким чином, у результаті дослідження ми встановили, що при N ₀ = N ₁ = 200 особин рівновага системи (популяції) виявляється нестійкою.

Вправа. Виконайте самостійно аналогічні експерименти для другої точки (N ₀ = N ₂) і переконайтеся в тому, що при N ₀ = N ₂ = 300 особин рівновага системи стійка.

Висновки

1. За будь-яких прийнятних значень параметра с (при 0< c < с_mах) стійка рівновага популяції забезпечується тільки для N з інтервалу N _гр ≥ N ≥ N _гр/2 (спадна гілка параболи на рис. 4.9). Для інших значень N рівновага є нестійкою, тобто, якщо за непередбачених обставин виявиться, що N ≤ N _гр/2, то система перейде в нестійкий стан.

2. Допустимі значення абсолютної швидкості відлову (абсолютної квоти) можуть бути якими завгодно, аби вони не перевищували с_mах = p ²/4 q.

3. Якщо абсолютна квота виявиться більшою за с_mах, то це завжди вестиме до невідворотної загибелі популяції. Будь-які намагання максимізувати прибуток (кількість вилученої біомаси) небезпечні – популяція може увійти в нестійкий стан і загинути.

4. Рис. 4.17 відтворює всі етапи обчислювального експерименту і, таким чином, є їх узагальнюючим підсумком.

Рис. 4.17

5. Практично прийнятною стратегією слід вважати відлов з
абсолютною квотою, меншою за максимальну. При цьому значення рівноважної чисельності N дещо зросте (N > N_гр /2) і відповідно зменшується улов.

Цей факт є найбільш важливим результатом виконаного аналізу. Одночасно він розкриває найбільш суттєвий недолік даної моделі, який обмежує можливості раціонального вилову.

Виявляється, однак, що можна так організувати справу, щоб
отримувати стійкий улов без виявленого обмеження. Про це – далі.

Дата добавления: 2015-01-03