Дослідження коливальних процесів

Розглянемо застосування методу фазових діаграм для вивчення різних прикладів механічних (електромагнітних) коливань.

1. Незатухаючі коливання (відповідно до рис. 7.4).

Спочатку створимо нову таблицю, скопіюємо в неї всі комірки таблиці на рис. 7.4.

Для побудови графіка залежності =f (х)– фазової траєкторії – слід врахувати, що при коливаннях вантажу на пружині . Тому після стовпця D таблиці вставимо допоміжний стовпець для значення v / ω. Саме ж значення ω помістимо в комірку G9, уміст якої є аналогом виразу для циклічної частоти – таблична формула =(G6/G5)^0,5. Значення комірки Е2 обчислимо за формулою =С2/$G$9, і цю формулу скопіюємо у всі наступні комірки стовпця Е. Нижче наведено остаточний вигляд нової таблиці (рис. 7.12)

	A	B	C	D	E	F	G
	t	ax	vx	x	vx/ω	Дано:
	0,00	-4,000	0,000	0,0100	0,000	x 0, м =	0,01
	0,01	-4,000	-0,020	0,0098	-0,001	v 0 x , м/с =
	0,02	-3,920	-0,059	0,0092	-0,003	D t, с =	0,01
	0,03	-3,683	-0,096	0,0082	-0,005	m, кг =	0,1
	0,04	-3,299	-0,129	0,0070	-0,006	k, Н/м =
	0,05	-2,783	-0,157	0,0054	-0,008	r, кг/с =
	...	...	...	...	...	ω, c^–1=
...	...	...	...	...	...

Рис. 7.12

Виділивши стовпці D і Е, будуємо графік залежності = f (х), який показано на рис. 7.13(а).

а) б)

Рис. 7.13.

а) графік залежності v /ω = f (х) для незатухаючих коливань;

б) для порівняння – відповідний графік залежності x = f (t).

2. Коливання, які затухають при дії сили опору, пропорційної швидкості руху (відповідна таблиця була розглянута на рис. 7.7 ).

Знову слід виконати процедуру, описану в п. 1 по створенню нової таблиці і заповненню стовпця Е. Приймемо r = 0,5.

Результат представлений на рис. 7.14(а).

а) б)

Рис. 7.14

а) фазовий портрет коливань, що затухають при дії сили опору, пропорційної швидкості руху;

б) для порівняння – відповідний графік залежності x = f (t).

3. Коливання, що затухають при дії сили сухого тертя.

Основою для побудови діаграми тут буде таблиця на рис. 7.8, а
результатом – рис 7.15(а).

а) б)

Рис. 7.15

а) фазовий портрет коливань, які затухають під дією сухого тертя;

б) відповідний графік залежності x = f (t).

4. Порівняльний аналіз результатів за рис. 7.13 – 7.15.

4.1. Ознакою незатухаючих коливань на фазовій площині є
замкнута траєкторія руху зображуючої точки, що видно з рис. 7.13 а.

4.2. Якщо коливання затухають в результаті дії сили опору, пропорційної швидкості руху (F_on = – rv), то, як відомо, послідовність значень амплітуд утворює спадну геометричну прогресію, як це видно з рис. 7.14(б). Які точки перетинає фазова траєкторія за рис. 7.14(а) після кожного повного коливання тіла?

Відповідь. Зображуюча точка починає переміщатись на фазовій площині від осі абсцис (х=х ₀, х >0). Наступний перетин фазової траєкторії з віссю абсцис в області х >0 відповідає черговому значенню амплітуди, тобто завершенню чергового періоду.

З обох графіків 7.15 а і 7.15 б видно, що за час спостереження
тіло здійснило чотири повні коливання.

4.3. При дії на коливне тіло сили сухого тертя (F_тр=-μN) відбувається затухання коливань, причому послідовність значень амплітуд утворює спадаючу арифметичну прогресію (рис. 7.15).

4.4. Які зміни зазнає цей рисунок при збільшенні часу спостереження за процесом від 1 с до 2 с?

5. Чим відрізняються фазові діаграми функцій x = x ₀cos ωt і x = x ₀sin ωt?

6. Поверніться до п. 5.3.3 Глави 5 «Хижак-жертва» цього посібника і для аналізу пропонованих там питань скористайтесь відомостями про фазові діаграми.

Висновки

1. Завдяки своїй високій інформативності метод фазових діаграм є дуже поширеним у практиці дослідження коливальних процесів різної природи. Довгий час ознайомлення в школі з цим методом стримувалося відсутністю засобів швидкої побудови і представлення графічної інформації. Комп’ютеризація й інформатизація освіти, а також розробка ефективного програмного забезпечення створюють сприятливі умови для ознайомлення з цим методом.

2. Часто при побудові фазових діаграм в механіці користуються системою координат «імпульс – кінетична енергія», оскільки імпульс тіла пропорційний його швидкості, а кінетична енергія є похідною від імпульсу.

3. Приведені вище відомості про метод фазових діаграм розглянуті нами лише на ознайомлювальному рівні. Проте і цього вистачило для глибокого й ефективного аналізу гармонічних коливань в системі «Хижак-жертва» поблизу рівноважного стану.

Глава 8. Рух тіла в полі сили тяжіння

Дата добавления: 2015-01-03