Фізичний аналіз. Математична модель

Умови, за яких тіло стає штучним супутником

Припущення 1. Враховуючи, що відстань між центрами планети і штучного супутника значно перевищує розміри супутника і розглядаючи планету як однорідну кулю, будемо вважати, що умова застосовності закону всесвітнього тяжіння (1) забезпечена.

Припущення 2. Будемо вважати (і не без підстав) масу супутника набагато меншою за масу планети: m_сп << m_пл. Це дозволить не розглядати рух самої планети, оскільки прискорення, які надають одне одному два тіла при взаємодії (в даному випадку супутник і планета), обернено пропорційні їх масам: .

Припущення 3. Оскільки штучні супутники рухаються в надзвичайно розріджених шарах планетних атмосфер, знехтуємо опором середовища. У такому випадку на супутник діятиме єдина сила –
сила всесвітнього тяжіння.

Рух штучного супутника відбувається в площині, в якій лежать вектор швидкості v супутника і центр планети. У цій самій площині лежить і вектор F сили тяжіння. Для опису такого руху потрібні дві координатні осі. Початок координат помістимо в центрі планети (рис. 8.1).

Рис. 8.1.

Тут F_x и F_y – складові (компоненти) вектора сили тяжіння;

М, т – маси планети й супутника відповідно.

Положення супутника визначається двома координатами x и у.

Проекції F_x и F_y мають знаки, протилежні знакам координат.

Нехай початковий момент «спостереження» відповідає перетину орбіти супутника з віссю абсцис (точка х ₀ на рис. 8.1).

З подібності трикутників маємо: , ,

що разом з (1) дає

; .

Проекції прискорення знайдемо з виразу (2):

. (3)

Відстань r між тілами визначимо за теоремою Піфагора:

.

Система рівнянь (3) є математичною моделлю руху штучного супутника.

Якщо в напрямку, перпендикулярному до лінії дії сили, в початковий момент орбітального руху супутника надати йому першої космічної швидкість v _{1 К} = , то, як відомо з курсу фізики (астрономії), його орбіта буде коловою.

Конкретизуємо умову. Нехай штучний супутник Землі (ШСЗ) масою 1 т = 1000 кг, рухається коловою орбітою на висоті h = 300 км від поверхні планети. Маса супутника не входить до виразу (3), але її значення забезпечує виконання умови m_сп<<М_пл. Для Землі М = 5,976·10²⁴кг=6·10²⁴ кг. Відстань між тілами r=R_З+h =0,3·10⁶+6,4·10⁶= = 6,7·10⁶ (м).

Відомо, що період обертання штучного супутника поблизу поверхні Землі (h << r) складає близько 100 хв. Таким і візьмемо час
моделювання. Будемо фіксувати значення всіх кінематичних характеристик руху супутника (а, v, x, у) через малі (порівняно з періодом обертання) однакові проміжки часу Δ t = 1 хв. = 60 с.

Дата добавления: 2015-01-03