Метод динамического программирования

Обозначим: S(х,t) - минимальное значение критерия качества J_t, из (5) для оптимального процесса, начинающегося в момент t в точке х(t) = х. Этот, процесс можно представить состоящим из двух участков: первого шага, на котором выбирается управление и(t) = u, и остальной части (от момента t+1 до конца процесса). Вклад в критерий качества первого участка gроцесса, равен R(х, u), а вклад второго участка можно, согласно принципу оптимальности, выразить через введенную выше функцию S в виде S(х(t +1), t+1). Учитывая, что управление на первом участке должно выбираться из условия минимизации критерия J, при ограничении (1), получим равенство

S(x,t)= min[ R(x,u)+S(x(t+1),t+1)]

u U

Здесь и далее для определенности предполагаем, что функция S, как и ранее введенные в (2), (4) функции f, R, F, непрерывна. Подставляя в полученное соотношение равенство (2), получим основное соотношение метода динамического программирования

S(x,t)= min[ R(x,u)+S(f(x(t),u),t+1)] (6)

u U

Которое связывает значения функции S в соседние значения времени, те является реккурентным! Для оптимального процесса, начинающегося в момент t=N, критерий оптимальности (5) сводится к одному последнему слагаемому. Поэтому имеем

S(x,N)=F(x) (7)

Соотношение (6) и условие (7), играющее роль начального условия, дают возможность последовательно определить функции S(х,t) при t = N- 1,......., 1,0, а также рассчитать оптимальное управление и оптимальные траектории. Это достигается при последовательной реализации попятной и прямой процедур динамического программирования.

Дата добавления: 2015-01-03