Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Обчислення визначників застосуванням метода Гауса




Одновременно с решением системы линейных алгебраических уравнений

можно вычислить определитель матрицы А. Пусть в процессе исключения найдено распожение т.е. построены матрицы L и U. Тогда

и, таким образом, произведение диагональных елементов матрицы L (ведущих, главных елементов метода исключения) равно определителю матрицы РА. Поскольку матрицы РА и А отличаются только перестановкой строк, определитель матрицы РА может отличаться от определителей матрицы А только знаком. А именно,

Таким образом, для вычисления определителя необходимо знать, сколько перестановок было осуществлено в процессе сключения.

Если матрица А выроджена, то при использовании метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу на некотором шаге исключения К все элементы которого столбца, находящиеся ниже главной диагонали и на ней, окажутся равными нулю.При этом дальнейшее исключение становится невозможным и программа должна выдать информацию о том, что определитель матрицы равен нулю. ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦ.

Нахождение матрицы, обратной матрице А, еквивалентно решению матричного уравнения (1)

где Е - единичная матрица, X - искомая квадратная матрица.

Уравнение (1) можно записать в виде системы уравнений

(2)

где

Можно заметить, что система (2) распадается на m независимых систем уравнений с одной и той же матрицей А, но с различными правыми частями. Эти системы имеют

вид (фиксируем j):

(3)

где у вектора - столбца равна единице j-та компонента и равны нулю остальные компоненты.

Например, для матрицы второго порядка система (2) распадается на две независимые системы:

Рассмотрим применение метода Гаусса без выбора главного элемента. Поскольку все системы (3) имеют одну и ту же матрицу А, достаточно один раз совершить прямой ход метода Гаусса, т.е. получить разложение A=LU и запомнить матрицы L i U.

Обратный ход осуществляется путем решения систем уравнений

с треугольными матрицами L è U.

При осуществлении обратного хода можно сократить число действий, принимая во внимание специальный вид правых частей системы (4).

Запишем подробнее первые j-1 уравнений системы (4):

Учитывая невырожденность матрицы L (т.е.

отсюда получаем

При этом оставшиеся уравнения системы (4) имеют вид

 

Можно показать, что общее число действий умножения и деления, необходимое для обращения матрицы указанным способом, порядка . Тем самым обращение матрицы требует не намного больше времени, чем решение системы уравнений.

10.Загальна задача інтерполювання, Чебишевська система функцій

И так, в вычислительной практике часто приходится встречаться с заменой функций более простыми, близкими к данным функциям в каком - либо смысле, с тем, чтобы найти с достаточной степенью точности более быстро простое решение. Чаще всего в качестве приближающих функций берутся многочлены. Это связано с некоторыми свойствами многочленов в классе непрерывных функций:

1. Свойство полноты, которое выражается теоремой Вейерштрасса (1885г.)

Теорема. Если f(x) – непрерывная на конечном замкнутом промежутке [a,b] функция, то для любого ε > 0 существует такой многочлен P(x),что |f(x)-P(x)| при всех x Є [a,b].

2. Другое важное свойство многочленов – это функции простой природы. Чтобы вычислить многочлен, нужно исполнить конечное число арифметических операций.

Теорема Вейерштрасса указывает лишь на возможность приближения функции многочленами, но не даёт способа построения такого многочлена. Существуют различные способы приближения функции при помощи многочленов. Большое распространение в вычислительной практике получил способ интерполирования функций. Общая задача интерполирования заключается в построении функции, вообще говоря, отличной от данной y = f(x), которая может быть известна, но задана слишком сложным аналитическим выражением, или неизвестна и задана в виде таблицы значений. Построенная функция должна принимать в заданных точках те же значения, что и данная функция f(x). В этом определении сформулированы две задачи:

1. Построение для функции, имеющей аналитическое выражение, такой более простой функции, которая заменила бы данную в вычислениях.

2. Для функции, заданной таблицей, найти такую формулу, которая давала бы возможность находить значения функции для промежуточных значений аргумента.

Пусть на отрезке [a,b] заданы n+1 точек x0 x1 …, x n. Эти точки называются узлами интерполяции. И даны значения некоторой функции f(x) в этих точках

f(xi) = yi. (4.1)

Требуется построить функцию φ(x) (интерполирующая функция), принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x), т.е.

φ(xi) = yi. (4.2)

Геометрически это означает, что нужно найти кривую y = φ(x), некоторого определённого типа, проходящую через заданную систему точек Mi (xi, yi), i=0,1,…,n.

Рис. 4.1

В такой общей постановке задача может иметь бесчисленное множество решений. Однако эта задача становится

однозначной, если в качестве приближающей функции искать многочлен степени не выше n, удовлетворяющий условиям (4.2). Полученную интерполяционную формулу y = φ(x) обычно используют для приближенного вычисления значений данной функции f(x). При этом различают интерполирование в узком смысле, когда x Є [x0, xn], и экстраполирование, когда x<x0 или x>xn. В дальнейшем под термином «интерполирование» мы будем понимать как первую, так и вторую операции. Чебишевская система функций:

(1.4)

при (т.е. при любых несовпадающих узлах).

Систему функций, удовлетворяющую условию (1.4), называют чебышевской. Из различных систем функций наиболее распространены многочлены, хотя применяют также тригонометрические и экспоненциальные функции.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-01-03; Просмотров: 432; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.