Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Формули Ньютона-Котеса та метод трапецій у чисельному інтегруванні




Формули Ньютона-Котеса та метод прямокутників у чисельному інтегруванні.

Задача чисельного інтегрування полягає у знаходженні наближеного значення визначеного інтеграла

, (1)

Узагальненням методів чисельного інтегрування є метод Ньютона-Котеса, який полягає у заміні підінтегрального виразу інтерполяційним поліномом Лагранжа з вузлами, що розбивають проміжок інтегрування на рівні частини: xi=a+i×h, і=0, 1, 2, …; b=xn=a+n×h.

В інтегралі (1) зробимо заміну: х® a+y×h. Позначимо F(y)=f(a+y×h). Тоді (1) можна записати у вигляді

. (2)

Інтерполяційний поліном n-го ступеню для функції f(х) має вигляд

, а його залишок –

.

Враховуючи, що , , інтеграл (2) запишеться таким чином:

(3)

де .

Розглянемо частинні випадки.

1. n=1. Тоді маємо усього 2 вузла, що співпадатимуть з границями інтегрування: x0=a, x1=b; h=b-a. Відповідно з (3) будемо мати

;

, (4)

де

Якщо розбити відрізок [a; b] на n рівних частин і на кожному відрізку [xi-1; xi] записати формулу Ньютона-Котеса (4), то в результаті отримаємо формулу трапецій із залишковим членом, рівним

Враховуючи, що матимемо залишок у вигляді

Звідси отримаємо оцінку похибки:

, (5)

2. n=2. Якщо у (3) покласти n=2 (h=(b-a)/2), то в результаті отримаємо формулу для трьох вузлів x0=a, x1=(b+a)/2, x2=b:

. (6)

Якщо розбити відрізок [a; b] на n рівних частин і на кожному відрізку двожиною 2h [xi-1; xi+1] записати формулу Ньютона-Котеса (6), то в результаті отримаємо формулу Сімпсона із залишковим членом рівним

Для оцінки похибки маємо нерівність

, (7)

Подальше збільшення кількості вузлів інтерполяційного полінома не є доцільним, оскільки при великих n у формулі (3) зустрічатимуться як додатні, так і від’ємні коефіцієнти, великі за абсолютним значенням. Тому незначні помилки у обчисленнях значень функції можуть призвести до значної похибки у квадратурній сумі.

 

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-01-03; Просмотров: 509; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.