Програма

з основних нормативних курсів для комплексного державного іспиту з математики

освітньо-кваліфікаційного рівня “бакалавр”

(напрям підготовки “математика”, спеціалізації підготовки “математика”, “статистика”)

2013/2014 навчальний рік

А.Студент повинен формулювати та активно володіти поняттями

1.Математичний аналіз

1. Поняття границі послідовності, границі функції в точці.

2. Неперервні та рівномірно неперервні функції. Типи розривів. Неперервність елементарних функцій.

3. Похідна та диференціал функцій однієї та кількох змінних.

4. Формула Тейлора з різними формами залишкових членів. Основні розклади.

5. Інтеграл Рімана, умови його існування.

6. Числові та функціональні ряди. Сума ряду, ознаки збіжності. Абсолютна збіжність. Рівномірна збіжність.

7. Ряд Тейлора. Основні розклади.

8. Формула заміни змінних у кратному інтегралі.

9. Формули Гріна, Гаусса-Остроградського, Стокса.

10. Метричні простори. Збіжність у метричних просторах.

2.Теорія міри та інтеграла

1. Конструкція міри Лебега.

2. Вимірні функції. Критерій вимірності.

3. Збіжність за мірою та збіжність майже всюди.

4. Конструкція інтеграла Лебега.

5. Теореми про граничний перехід під знаком інтеграла Лебега.

3.Функціональний аналіз

1. Гільбертів простір. Ортонормовані базиси.

2. Лінійні, неперервні, обмежені оператори. Норма оператора.

3. Теорема Гана-Банаха.

4. Теорема Банаха про обернений оператор.

5. Принцип рівномірної обмеженості.

6. Компактні оператори та теореми Фредгольма.

4.Лінійна алгебра

1. Найбільший спільний дільник двох многочленів. Алгоритм Евкліда.

2. Матриці та дії над ними. Обернена матриця.

3. Лінійні перетворення. Ранг і дефект лінійного перетворення.

4. Визначники, їх властивості та застосування.

5. Власні числа і власні вектори лінійного оператора.

6. Жорданова нормальна форма матриці.

7. Зведення квадратичної форми до канонічного вигляду методом Лагранжа і Якобі.

5.Алгебра та теорія чисел

1. Поняття групи. Циклічні групи, їх властивості

2. Кільця головних ідеалів, евклідові кільця.

6.Аналітична геометрія

1. Скалярний, векторний та мішаний добутки векторів, вираз через координати векторів-співмножників.

2. Взаємне розташування кривої другого порядку та прямої.

3. Головні напрями поверхні другого порядку. Характеристичне рівняння.

4. Взаємне розміщення двох прямих у просторі (умова мимобіжності, перетину, паралельності, збігу).

5. Діаметри кривої другого порядку.

7.Диференціальна геометрія та топологія

1. Тригранник Френе.

2. Аксіоми відокремлюваності. Регулярні та нормальні простори.

3. Зв’язні простори та множини. Лінійна зв’язність.

4. Внутрішня геометрія поверхні.

5. Внутрішність і замикання множини топологічного простору. Внутрішні, граничні, ізольовані точки, точки дотику.

8.Диференціальні рівняння

1. Рівняння з відокремлюваними змінними та його інтегрування.

2. Задача Коші для диференціального рівняння довільного порядку та для нормальної системи диференціальних рівнянь. Теорема Пеано. Теорема Пікара.

3. Типи фазових портретів двовимірних лінійних однорідних систем (ЛОС) зі сталими коефіцієнтами: вузол, вироджений та дикритичний вузли, сідло, фокус, центр.

4. Фундаментальна система розв’язків (ФСР) лінійного однорідного диференціального рівняння довільного порядку (ЛОР). Вронскіан. Фундаментальна матриця ЛОС.

5. Побудова ФСР лінійного ЛОР зі сталими коефіцієнтами та ЛОС зі сталою матрицею.

6. Метод варіації довільних сталих розв’язання лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь довільного порядку та систем диференціальних рівнянь.

7. Метод невизначених коефіцієнтів знаходження частинного розв’язку ЛНР з квазіполіномною правою частиною.

8. Стійкість та асимптотична стійкість розв’язків за Ляпуновим.

9. Критерії стійкості та асимптотичної стійкості ЛОС зі сталими коефіцієнтами.

10. Теорема про стійкість за першим наближенням положення рівноваги автономної системи.

Дата добавления: 2015-01-03