Решение задач контрольной работы А 2 страница

3. Запишут выигрышную стратегию формально — Первый должен на каждом своём ходу забирать столько камешков, чтобы Второму досталось чётное число.

Лишь некоторые учащиеся поймут, что в игре не может победить Второй. С такими ребятами по окончании решения мы советуем обсудить этот вопрос. Следует обратить внимание на то, что существуют игры, когда у игроков просто нет выбора (например, игра «камешки» с единственным разрешённым ходом 1), в таком случае выигрышная стратегия не нужна.

Задача 109. Эта задача по содержанию продолжает серию заданий про Робика, но её формулировка будет для ребят новой. Поэтому кто-то из учеников может даже не разобраться, что здесь имеется в виду. Обсудите с ребятами, что цепочка Я пока не является цепочкой выполнения программы и бусины цепочки Я пока нельзя назвать позициями Робика: в них раскрашены не все нужные клетки, нет жирной точки, указывающей, в какой клетке находится Робик. С другой стороны, некоторые клетки в бусинах цепочки всё же раскрашены, и нужно это учесть: «стереть» раскраску не можем ни мы, ни Робик. Робик может выполнить программу Ю, стартуя из разных клеток поля. Поэтому для нахождения единственного решения требуется дополнительная информация. Эта информация заложена в раскрашенных клетках бусин цепочки Я.

Несмотря на новизну формулировки, одна из идей, помогавших при решении подобных задач ранее, может здесь пригодиться. Достаточно запустить Робика на любом листе клетчатой бумаги, и мы увидим, что он «путешествует» только по квадратику из четырёх клеток. Цепочка Я легко позволяет найти эти четыре клетки. При этом Робик начинает выполнение программы из левого нижнего угла этого квадратика.

Теперь ребятам останется лишь аккуратно раскрасить каждую позицию в соответствии с командами программы.

Ответ:

Задача 110. Эта задача того же типа, что и задачи 99, 100. С точки зрения арифметики здесь ситуация даже несколько проще, так как в задачах 99 и 100 встречаются двойные вложенные скобки. Но структура представленных в этой задаче деревьев сложнее — больше уровней, больше листьев на разных уровнях.

Ответ:

Задача 111. Ребятам уже встречалась подобная задача (см. комментарии к задаче 18). Здесь, так же как и в задаче 18, нужно экономить вершины, т. е. не размещать на одном уровне две одинаковые вершины, имеющие общую предыдущую (или две одинаковые корневые вершины). Исключение из этого правила составляет лишь случай, когда одна из одинаковых вершин является листом, а другая — нет. Например, в мешке V есть слова КИС и КИСА. У этих путей будут две общие вершины — К и И. Однако бусины С этих путей будут разными вершинами дерева.

Задача 112. Эта задача продолжает серию задач на сочетание кванторов — «все», «каждый», «есть». То, что в качестве простейших свойств объектов используются свойства, формулируемые с помощью наших понятий, относящихся к словам и буквам, не так уж важно. Важнее именно логическая структура предложения, представленная здесь словами «каждый», «найдётся». Эта структура будет одной и той же, независимо от того, работаем ли мы с числами, геометрическими фигурами, программами или словами.

При решении ребята могут столкнуться с двумя трудностями. Во-первых, в формулировке фигурируют два вида мешков: мешки мешков (внешние мешки) и мешки со словами (внутренние мешки), которые обозначены одним и тем же словом — «мешок». Кто-то из ребят может запутаться, где какой мешок имеется в виду. В этом случае можно прямо в условии сделать пометки «внешний» и «внутренний» или «большой» и «маленький».

Во-вторых, достаточно сложной может оказаться логическая структура высказывания, поскольку она содержит два квантора: «для каждого» («для любого») и «есть» («существует», «найдётся»). Если кому-то из ребят трудно сразу понять эту структуру, рассуждайте вместе с ними. Проще всего понять смысл условия, относящегося к отдельным словам мешков. Наверняка каждый ребёнок вам скажет, что мы будем искать такие слова, первая и последняя буквы которых одинаковы. А теперь ваша задача — обратить внимание ребёнка на главные слова высказывания: «есть» и «каждый». Например, можно спросить: «Сколько таких слов мы должны найти в каждом внутреннем мешке?» Ответ на этот вопрос побудит ребёнка обратиться к формулировке, выделить в ней слово «есть» — значит, найдётся хотя бы одно слово. Итак, мы поняли, что нужно искать внутренний мешок, содержащий хотя бы одно слово, первая и последняя буквы которого одинаковые. Чтобы довести рассуждения до конца, спросите: «Сколько в большом мешке должно быть мешков с нужным нам словом: один, два или три?» Читая условие, ребёнок обязательно обратит внимание на слово «каждый». Это означает, что все три внутренних мешка должны содержать необходимые слова. После серии таких вопросов каждый ребёнок будет знать, что делать, и без труда найдёт мешок, в данном случае мешок S.

Задача 113. Необязательная. В данной задаче ребятам необходимо помнить не только то, что такое путь дерева, но и то, какое число называется нечётным. Возможно, кому-то придётся напомнить, какое число называется нечётным. Если учесть число уровней дерева Y, подходящие нам пути могут иметь длину 1, 3 или 5. Путей длины 1 в дереве Y нет. При поиске путей длины 3 и 5 сильно помогает то, что дерево нарисовано по уровням. Поэтому можно просто пометить все листья, находящиеся на третьем и пятом уровнях (их 10), а затем выписать все пути, ведущие в эти листья. Это лишь один из способов решения задачи, ребята, скорее всего, будут использовать самые разные стратегии решения. Однако стоит обратить внимание на то, что в задаче необходимо выписать все пути, удовлетворяющие условию, поэтому какая-либо стратегия перебора нужна в любом случае.

Ответ:

Задача 114. Знакомое детям задание на заполнение двумерной таблицы для мешка. Особенностью данной задачи является её геометрическое содержание, а именно форма фигурок. В мешке, кроме привычных круга, треугольника и квадрата, лежат ещё правильные многоугольники: пяти-, шести-, семи- и восьмиугольники. Обсудите с учащимися, как отличить многоугольники один от другого. Если ребёнок запутался, попросите его посчитать и распределить по формам сначала все жёлтые фигуры, затем красные и т. д.

Заполнив таблицу, полезно убедиться в том, что общее число фигурок в таблице и в мешке одинаково. Совпадение этих результатов, как известно, является необходимым, но не достаточным условием правильного решения. Эта процедура может послужить первым этапом проверки, выявляющим вычислительные ошибки или ошибки, допущенные из-за невнимательности. Вторым этапом является сравнение непосредственно результатов подсчёта для каждой клетки в таблице. Проверку можно организовать как в парах, так и в группах. Ребятам, которые справились быстро, можно посоветовать самостоятельно проверить свои результаты, ориентируясь на столбцы (если считали по строкам) или наоборот.

Ответ:

Задача 115. Попробуем собрать искомую цепочку из частичных решений (эта идея работала в аналогичных задачах раньше). Из первого утверждения становится ясно, что в искомой цепочке будет два кусочка А — З. Букв У в задаче три, значит, из второго утверждения следует, что в цепочке должно быть три кусочка вида У — … — Д. Для этого нужно 9 букв, а у нас осталось только 7, значит, собрать эти кусочки независимо друг от друга не получится — частичные решения придётся «накладывать» друг на друга. Так рождается идея составить кусок У — У — Д — Д, где «наложены» два частичных решения.

Задача 116. Необязательная. Аналогичные задачи ребятам уже встречались (см. комментарии к задаче 104). Все дети будут действовать в этой задаче по-разному. Одна из идей заключается в том, чтобы разбить слова на группы по наличию или отсутствию некоторой буквы. Если некоторая буква встречается только в одном из слов, его можно сразу вычеркнуть. Так, можно сразу вычеркнуть слово КОФЕЙНИК, поскольку только в нём встречается буква Й, слово ЖЕРЕБЧИК (из-за буквы Б), слово ВКЛАДЧИК (из-за буквы Д). Остальные слова можно разделить на две группы по наличию или отсутствию буквы А. В одной из групп при этом остаются два слова с одинаковыми мешками букв — ИСТОПНИК и СИНОПТИК.

Уроки «Дерево выполнения программ»

Дерево помогает нам в тех случаях, когда необходимо осуществить перебор всех возможных ситуаций, особенно если на каждом новом шаге нам опять предстоит выбор. Удержать все возникающие ветвления в голове подчас оказывается затруднительно даже взрослому, а ребёнку и подавно. Дерево же даёт простую и понятную модель, отражающую сразу все варианты возможного развития событий от первого до последнего шага.

На данном листе определений речь пойдёт о дереве возможностей выполнения программы Робиком. Часто Робик может выполнить все четыре команды из той клетки, где он находится. Единственное, что его ограничивает, — это стены, внутренние и внешние. Ясно, что Робик может выполнить команду лишь в том случае, если на пути нет стены. Если учесть, что ветвления (варианты выбора) есть и на первом, и на втором, и на третьем (и т. д.) шагах, то возникает множество вариантов возможных путей Робика. Соответственно существует множество программ заданной длины, которые Робик может выполнить из данного начального положения. Учесть все варианты поможет дерево. В качестве вершин дерева мы берём не сами команды, а результаты их выполнения — получившиеся позиции.

Итак, цепочка позиций — это способ представить динамический процесс в виде статичной последовательности моментальных снимков. Дерево позиций — это способ фиксировать и различные варианты развития событий.

Понятие «дерево выполнения программ», как и другие понятия, относящиеся к командам и процессам их выполнения, мы даём только на примере Робика и его фиксированной системы команд. Ясно, что эти понятия можно использовать и в более общей ситуации для любых исполнителей и систем команд.

Решение задач 117—126 из учебника

Задача 117. Здесь пока не требуется построение дерева выполнения программ, а нужно лишь поработать с уже построенным деревом У, но даже это может оказаться непростой задачей, так как дерево У достаточно большое. В условии задачи мы специально обратили внимание ребят на стены, которые ограничивают передвижения Робика по полю. Если вы хотите до выполнения задания убедиться, что ребята понимают принцип построения дерева У, задайте им после знакомства с условием задачи несколько вопросов:

1. Почему дерево У имеет 5 уровней?

2. Почему корневая вершина имеет только две следующие?

3. Почему самая нижняя вершина третьего уровня имеет только одну следующую?

4. Почему не во всех листьях дерева число закрашенных клеток одинаково? И т. п.

При выполнении первой части задания ребятам придётся сопоставлять программы с путями дерева. Для того чтобы обвести в дереве некоторый путь, надо обвести каждую вершину этого пути начиная с корневой и до соответствующего листа. Надеемся, ребят не смутит, что одна из вершин второго уровня в результате выполнения первого задания будет обведена дважды, а корневая вершина — трижды (см. рис.).

Если ребята понимают, как построено дерево У, то написание программы Г их не затруднит, потому что из корневой позиции Робик может выполнить лишь одну из двух команд: «вверх» или «влево». Вторую команду конструкции повторения можно найти перебором по дереву. Например, в первое окно мы вписали команду «вверх». Далее Робик может выполнить команду «вправо» или «вниз». Пробуем выполнить каждую из получившихся программ Г и убеждаемся, что на данном поле выполнима лишь одна из них:

ПОВТОРИТЬ 2 РАЗА

вверх

вниз

КОНЕЦ

Если в первом окне записать команду «влево», то получаем также лишь одну возможную программу Г:

ПОВТОРИТЬ 2 РАЗА

влево

вправо

КОНЕЦ

Задача 118. Ребята, разобравшиеся в листе определений, такую задачу решат без труда. Если у кого-то из учеников возникнет заминка, побеседуйте с ним о возможностях выполнения команд Робиком. Понятно, что если Робик стоит на безграничном поле, то он в любой момент может выполнить любую из своих четырёх команд. Но нам дано поле, внутри которого находятся стены. Поэтому первый ваш наводящий вопрос может быть таким: какие команды может выполнить Робик из начальной позиции? Оказывается, что лишь одну — команду «вниз», так как в начальной позиции с трёх сторон от Робика находятся стены. Значит, после корневой вершины следует лишь одна позиция. Далее можно спросить: какие команды может выполнить Робик из клетки, куда он переместился? Их три: «вправо», «вниз» и «вверх», потому что стена теперь лишь слева. Рисуем возможные позиции. Для каждой из трёх позиций проводим аналогичные рассуждения. Получаем следующее дерево Ш:

Задача 119. Необязательная. Ребятам уже не раз приходилось решать задачи на двумерную таблицу для мешка, но эта задача — повышенного уровня сложности. Действительно, грузинские буквы для ребят не более чем закорючки, их невозможно держать в голове в виде общих понятий (например, «раскрашиваем красным три буквы Ю»), поэтому при раскрашивании буквы из мешка постоянно приходится сличать с образцом из таблицы. Решать такую задачу без системы довольно сложно. Например, можно раскрашивать буквы по строкам (или по столбцам) таблицы. Полезно сразу помечать в таблице ту клетку, которую уже использовали. Берём первую клетку первого столбца таблицы, в ней стоит число 0, значит, в мешке нет таких синих букв. Помечаем эту клетку и переходим ко второй клетке первого столбца. В ней стоит число 2, значит, в мешке должно быть две такие красные буквы. Находим по образцу две любые такие буквы, раскрашиваем их красным, помечаем вторую клетку и переходим к следующей. Так можно продолжать работу до тех пор, пока все клетки в таблице не будут помечены.

Задача способствует тренировке наблюдательности и умения работать с малознакомой системой символов; кроме того, дети ещё раз увидят письменность наших соседей.

Задача 120. Аналогичные задачи на выполнение операции, обратной склеиванию мешков цепочек цифр, ребятам уже встречались (см. комментарии к задачам 73, 85). В данном случае в мешке-результате лежат все двузначные числа. Все такие числа имеют ровно два разряда. В разряде единиц может стоять любая цифра, а в разряде десятков — любая цифра, кроме 0. Это и определяет состав мешков А и Б.

Задача 121. Здесь ребятам снова предстоит анализировать дерево выполнения программы. Оба задания данной задачи удобнее всего выполнять начиная с листьев. Например, выполняя первое задание, сначала можно пометить все подходящие листья (где Робик заканчивает выполнение программы в левом нижнем углу), таких листьев оказывается 4. Затем следует обвести синим все пути, ведущие в эти листья (общую вершину для нескольких путей, например, корневую, достаточно обвести один раз), потом выбрать один путь и записать соответствующую ему программу Робика в первое окно. Возможные программы А:

Видим, что последняя программа подходит и под условие второго задания, поэтому путь, соответствующий ей, будет обведен дважды — синим и красным.

Задача 122. В данной задаче нужно установить соответствие между арифметическими выражениями и деревьями. Для того чтобы ребятам обязательно пришлось анализировать древесную структуру, все примеры составлены из одних и тех же чисел. Здесь не нужно анализировать всё дерево полностью, чтобы найти подходящий для него пример. Возьмём, например, дерево А. Последнее действие, выполняемое для нахождения корневой вершины, — умножение. Видим, что пример, в котором последним выполняется умножение, — один (последний), соединяем пример и дерево А его вычисления. Так продолжаем рассуждать до тех пор, пока все примеры не будут соединены каждый со своим деревом. После этого задача становится привычной для ребят.

Возможно, найдутся дети, которые при решении этой задачи будут действовать совершенно по-другому: сначала заполнят все цветные окна в дереве (в том числе и в корневых вершинах), затем найдут значение каждого из выражений, наконец, соединят деревья с выражениями, руководствуясь одинаковыми числами в окнах примеров и корневых вершинах деревьев.

Ответ:

А — 2 ×(30 — 20: 10 + 15) = 86

В — 2×(30 — 20: 10) + 15 = 71

С — 2×(30 — 20): 10 + 15 = 17

D — 2×30 — 20: 10 + 15 = 73

Задача 123. Здесь ребята повторяют понятия «перед каждой» и «после каждой». Пробы с бусинами с листа вырезания будут осложняться тем, что для некоторых бусин известен только цвет, а для некоторых известна только форма. Поэтому пробы можно осуществлять на листочке (или в окне карандашом), изображая пустую форму (квадрат, треугольник или круг) либо цвет первой буквой (К, Ж, С, З). Конечно, решений у этой задачи много, однако анализ утверждений позволяет выделить у всех подходящих цепочек следующие общие черты. Во-первых, в цепочке Ю должна быть хотя бы одна треугольная бусина, иначе второе утверждение не будет иметь смысла. Более того, в цепочке Ю должен содержаться хотя бы один отрезок «красная круглая — … — треугольная». Если использовать первое утверждение, то этот отрезок должен выглядеть так: «красная круглая — квадратная (не красная) — треугольная». Во-вторых, треугольных бусин в цепочке Ю не может быть больше двух, иначе в цепочке Ю будет и больше двух круглых, что противоречит последнему утверждению. Теперь остаётся проследить, чтобы в цепочке было четыре красные бусины и чтобы после каждой из них стояла квадратная.

Ясно, что самая короткая цепочка, удовлетворяющая условию, — цепочка длины 7, ведь в цепочке Ю, как говорилось выше, не меньше одной треугольной бусины, ровно две круглые и не меньше четырёх квадратных (так как после каждой красной бусины должна стоять квадратная). Например, условию удовлетворяет цепочка:

Однако цепочка Ю может быть и гораздо длиннее, поскольку число квадратных не красных бусин может быть любым. Например, нам подходит следующая цепочка длины 9:

Задача 124. Необязательная. Задача потребует от детей внимания, сосредоточенности и, конечно, знания правила словарного порядка слов. Ребята сразу заметят, что первая буква у всех слов — С, а вторая — О. Упорядочивать слова придётся по третьей букве: сначала искать все слова, у которых на третьем месте буква А, далее — буква Б, потом — буква В и т. д. Облегчает выполнение задания то, что в мешке есть лишь два слова, в которых третьи буквы одинаковы: СОН и СОНЯ. Возможно, кому-то из ребят придётся напомнить, что в подобных случаях раньше должно идти то слово, у которого четвёртой буквы вообще нет (СОН). При расстановке столь большого числа слов в словарном порядке возможны ошибки, которые трудно будет потом исправить, если учащиеся сразу напишут слова ручкой, поэтому лучше писать слова в цепочку сначала карандашом. Кроме того, слова, уже записанные в цепочку, лучше вычёркивать из мешка.

Ответ:

Задача 125. В этой задаче задействован довольно широкий круг понятий нашего курса. Особенно активно ребятам приходится работать с понятием «путь дерева», анализируя пути как цепочки, с одной стороны, и как части дерева — с другой. Так, определяя истинность пятого утверждения, ребята должны понимать, что первая фигурка каждого пути — корневая вершина дерева. Поскольку в дереве С корневая вершина одна и это фигурка жука, то утверждение истинно. Чтобы определить истинность восьмого утверждения, нужно аккуратно перебрать все пути дерева, найти в каждой из цепочек третью фигурку (собственно, это все вершины третьего уровня) и проверить, что все эти фигурки — жуки. Особого внимания заслуживают утверждения, не имеющие смысла для данного дерева. Третье утверждение не имеет смысла, так как корневая вершина — фигурка жука и она не имеет предыдущей, а последнее утверждение не имеет смысла, так как в дереве С есть пути длины 3 и в них отсутствует четвёртая фигурка.

Ответ:

Задача 126. Аналогичные задачи на склеивание цепочек, имеющие отношение к курсу русского языка, ребятам уже встречались (см. комментарии к задачам 20 и 80). Как и в задаче 80, здесь для решения задачи ребёнку необходимы некоторые знания из курса русского языка, поэтому данная задача хорошо подходит для интегрированного урока.

Проект «Наша сказка/Наш мультфильм» (только для компьютерного варианта изучения курса)

Дата добавления: 2015-01-03