Критерий проверки

Поведение, когда гипотеза неверна.

Поведение, когда гипотеза верна.

Речь идет о поведении при увеличении объема выборки: .

Теорема К. Пирсона. Предположим, что гипотеза верна. Тогда при распределение величины сходится к распределению хи-квадрат с степенью свободы, то есть,

Практический смысл этой теоремы в том, что при большом объеме выборки распределение можно считать распределением хи-квадрат с степенью свободы.

Предположим теперь, что и разбиение таково, что

где вероятности вычислены по функции распределения . Тогда можно показать (см., например, [13, § 10.4]), что

если

(52)

То обстоятельство, что поведение существенно различно в зависимости от того верна или нет гипотеза , дает возможность построить критерий для ее проверки. Зададимся некоторым уровнем значимости (допустимой вероятностью ошибки) и возьмем квантиль , определенную формулой (45):

Определим критическое множество :

Таким образом, наши действия по принятию (или отвержению) гипотезы состоят в следующем. Подстановкой имеющихся данных в формулу (51) вычисляется значение функции , которое затем сравнивается с :

• если , то гипотеза отвергается (при этом говорят, что выборка обнаруживает значимое отклонение от гипотезы ),
• если , то гипотеза принимается (говорят, что выборка совместима с гипотезой ).

Действительно, такое решающее правило соответствует вышеизложенным фактам о поведении функции . Приведем аргументы, основанные на здравом смысле, свидетельствующие в пользу этого решающего правила. Если значения функции оказались ``слишком большими'', то, принимая во внимание (52), разумно считать, что гипотеза не имеет места. Если же значения ``не слишком большие'', то, скорее всего, гипотеза верна, поскольку это согласуется с теоремой Пирсона.

При таком решающем правиле мы может допустить ошибку, отвергнув верную гипотезу . Из теоремы Пирсона вытекает, что при больших величина вероятности этой ошибки близка к .

Дата добавления: 2014-12-24