Тема 6. Динамические ряды

Ряд динамики — это ряд числовых значений определенного статистического показателя в последовательные моменты или периоды времени. Числовые значения, составляющие динамический ряд, называются уровнями ряда. Уровни ряда могут быть выражены абсолютными, относительными или средними величинами. Основное требование, предъявляемое к уровням динамического ряда это их сопоставимость.

В статистике используются два типа рядов динамики для описания изменений различных величин.

Для величин типа потока (доходы, выпуск продукции, затраты и т.п.) уровни ряда соответствуют определенным интервалам времени (доход в 1995 году, выпуск продукции в марте и т.д.). Такие ряды называются интервальными.

Для величин типа запаса (запас сырья, численность работников, кассовая наличность и т.п.) уровни ряда представлены на определенные моменты времени (конец квартала, начало года и т.д.). Такие ряды называются моментными.

Изучение динамических рядов предполагает определение среднего уровня ряда динамики, определение показателей динамики и их усреднение, анализ закономерностей изменения уровней ряда.

Метод определения среднего уровня зависит от типа динамического ряда.

Средний уровень интервального ряда определяется как простое среднее арифметическое:

,

где — значение уровня ряда динамики;

n — число уровней ряда динамики;

t — номер уровня ряда динамики, t =1,2,..., n.

Моментные ряды отличаются от интервальных принципиальной неполнотой. Пусть уровни соответствуют моментам наблюдения . Исследуемая величина изменяется в период между наблюдениями, но эти изменения не отражены рядом динамики. Поэтому средний уровень моментного ряда может быть лишь приближенно оценен. Для этой цели используется специальное среднее — среднее хронологическое.

а) для ряда с равноотстоящими моментами наблюдения:

;

б) для ряда с разноотстоящими моментами наблюдения:

,

где — интервал между соседними уровнями ряда,

.

Показатели динамики — это величины, характеризующие изменение уровней динамического ряда. К ним относятся: абсолютный прирост, коэффициент (темп) роста, коэффициент (темп) прироста.

В зависимости от базы сравнения различают базисные и цепные показатели динамики. Базисные показатели динамики — это результат сравнения текущих уровней с одним фиксированным уровнем, принятым за базу, они характеризуют окончательный результат всех изменений в уровнях ряда за период от базисного до текущего уровня. Обычно за базу сравнения принимают начальный уровень динамического ряда.

Цепные показатели динамики — это результат сравнения текущих уровней с предшествующими, они характеризуют интенсивность изменения от срока к сроку.

Методы расчета показателей динамики в зависимости от базы сравнения представлены ниже:

Показатели динамики
базисные	цепные
Абсолютный прирост
Коэффициент роста
Темп роста
Коэффициент прироста
Темп прироста

Где — уровни динамического ряда;

— базисный уровень.

Абсолютный прирост характеризует, на сколько единиц уровень текущего периода больше или меньше уровня базисного или предыдущего периода. Он измеряется в тех же единицах, что и уровни ряда.

Коэффициент роста показывает, во сколько раз уровень текущего периода больше или меньше базисного или предыдущего. Этот показатель, выраженный в процентах, называют темпом роста.

Темп прироста показывает, на сколько процентов текущий уровень больше или меньше базисного или предыдущего.

Определяя цепные показатели динамики, получают ряд варьирующих, отчасти независимых величин, для которых можно определить средние характеристики. Предварительно необходимо рассмотреть взаимосвязь базисных и цепных показателей динамики, используя уже принятые обозначения:

Средний абсолютный прирост определяется как среднее арифметическое из абсолютных приростов за отдельные периоды времени динамического ряда:

пусть даны абсолютные приросты: ;

тогда

.

Отсюда ,

где n — число приростов.

Средний коэффициент роста определяется как среднее геометрическое из коэффициентов роста за отдельные периоды времени динамического ряда:

пусть даны коэффициенты роста: .

Тогда .

Отсюда

.

Среднегодовой темп прироста определяют исходя из среднего темпа роста: .

Для выявления закономерностей (тенденций) динамического ряда используют две группы методов их выравнивания, эмпирические и аналитические.

Одним из эмпирических методов является метод скользящей средней. Этот метод состоит в замене абсолютных уровней ряда динамики их средними арифметическими значениями за определенные интервалы. Выбираются эти интервалы способом скольжения: постепенно исключаются из интервала первые уровни и включаются последующие.

Например, если дан ряд ежегодных уровней: — то трехлетняя скользящая средняя определяется следующим образом:

для первого интервала ;

для второго интервала ;

для третьего интервала и т.д.

В результате сглаживания получается ряд динамики, количество уровней которого на два меньше, чем у исходного (теряются два крайних значения).

При аналитическом выравнивании статистические приемы сводятся к тому, что нужно подобрать математическую функцию определенного класса, значения которой наиболее близки к уровням выравниваемого ряда. Для этого используется метод наименьших квадратов.

Особенность рядов динамики состоит в том, что в качестве независимой переменной здесь всегда выступает фактор времени (t).

Выравнивание ряда сводится к определению параметров функции:

,

параметры которой определяются при решении системы нормальных уравнений.

При выравнивании ряда с помощью линейной функции

система нормальных уравнений имеет вид:

,

где — значение уровней фактического ряда динамики;

t — временные даты или номер соответствующего уровня ряда динамики;

п —количество уровней ряда динамики.

В динамических рядах значение t почти всегда образует арифметическую последовательность, поэтому, чтобы упростить расчеты, удобно в качестве начала отсчета времени брать середину ряда. Тогда сумма нечетных степеней t будет равна нулю.

Если дан ряд динамики, содержащий нечетное количество уровней (например, 5), то его целесообразно представить в виде:

Если дан ряд динамики, содержащий четное количество уровней (например, 6), то —

Так как при этом , система нормальных уравнений упрощается:

.

Отсюда

Полученный параметр b можно интерпретировать следующим образом: если b > 0, то уровни сглаженного ряда равномерно возрастают (на b единиц за каждую единицу времени); если b <0, то уровни равномерно снижаются. Таким образом, выравнивание по прямой применяется тогда, когда анализируемое явление проявляет тенденцию к равномерному развитию во времени. Этому типу развития свойственны стабильные или беспорядочно изменяющиеся абсолютные приросты.

Ряд динамики с постоянными темпами роста отображается экспонентой:

.

Эту зависимость можно свести к линейной, прологарифмировав ее:

(основание логарифмов не имеет значения). Воспользовавшись уже известной системой нормальных уравнений, определяем:

Параметр b представляет собой темп роста (снижения) изучаемого явления в единицу времени, т.е. интенсивность развития.

При аналитическом выравнивании, конечно, могут применяться и другие функции. Выбор функции основывается на анализе показателей динамики и графического изображения ряда динамики.

Задание № 6

По данным табл. 6 выбрать динамический ряд, соответствующий Вашему варианту, для которого:

1. Рассчитать:

а) среднегодовой уровень ряда динамики;

б) цепные и базисные показатели динамики: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста;

в) средний абсолютный прирост, средний темп роста, средний темп прироста.

2. Произвести сглаживание ряда динамики трехлетней скользящей средней.

3. Произвести аналитическое выравнивание ряда динамики.

4. Изобразить фактический и выровненный ряды графически.

5. Сделать выводы.

Таблица 6

Дата добавления: 2014-12-24