По медецинской информатике 2 страница

В таблице Дисперсионный анализ оценивается общее качество полученной модели: ее достоверность по уровню значимости критерия Фишера (строка Регрессия, столбец Значимость F, в примере 0,0000911, то есть p=0,0000911 и модель значима).

Приводимое значение R – квадрат (коэффициент детерминации) в регрессионной статистике определяет степень точности описания моделью процесса. В примере R – квадрат=0,9015. Так как R – квадрат < 0,95, не можем говорить о высокой точности аппроксимации.

Определим значения коэффициентов модели. На пересечении строки Y – пересечение и столбца Коэффициент приводится свободный член. В строке Переменная X1 приводится коэффициент при X1.

Поэтому выражение для определения объема сухого эритроцита у млекопитающих от диаметра будет иметь вид:

Однофакторный дисперсионный анализ.

Для сравнения нескольких средних пользуются дисперсионным анализом. На практике дисперсионный анализ применяют, чтобы установить, оказывает ли существенное влияние некоторый качественный фактор А, который имеет m уровней А_1, А₂ … А _m на изучаемую величину Х. Например, если требуется выяснить, какая доза рентгеновского излучения наиболее эффективно влияет на темп размножения бактерий, то фактор А – рентгеновское излучение, а его уровни – дозы излучений.

Основная идея дисперсионного анализа состоит в сравнении факторной дисперсии и остаточной дисперсии. В математической статистике доказывается, что факторная дисперсия характеризует влияние фактора А на величину Х, а остаточная – влияние случайных причин.

Рассмотрим случай, когда число испытаний на различных уровнях различно. Пусть произведено q₁ испытаний на уровне А₁, q₂ испытаний на уровне А₂, …, q _m испытаний – на уровне А_m.

Общую сумму квадратов отклонений наблюдаемых зачений от общей средней х находят по формуле:

S_общ = [P₁ + P₂ + …+ P_m] – (R₁ +R₂ +… + R_m)²/n,

где

P₁ = - сумма квадратов наблюдавшихся значений признака на уровне А₁;

P₂ = - сумма квадратов наблюдавшихся значений признака на уровне А₂;

_...

P_m = - сумма квадратов наблюдавшихся значений признака на уровне А _m.

R₁ = , R₂ = … R_m = - суммы наблюдавшихся значений признака соответственно на уровнях А_1, А_{2, …} А_m.

n= q_{1 +} q_{2 +… +}q_m - общее число испытаний (объем выборки).

Факторную сумму квадратов отклонений групповых средних от общей средней, которая характеризует рассеяние " между группами" находят по формуле:

S_{факт =} [ (R₁²/q₁) + (R₂²/q₂ ) +… + (R_m²/q_m)] – [ (R₁ + R₂ + …+ R_m)² /n]

Остаточную сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений группы от своей групповой средней, которая характеризует рассеяние "внутри групп", находят по формуле:

S _ост = S _общ -S _факт

Факторную дисперсию находят по формуле:

S² _факт = S _факт / (m-1)

Остаточную дисперсию находят по формуле:

S² _ост = S _ост /(n-m)

Сравниваем факторную и остаточную дисперсии.

Если факторная дисперсия окажется меньше остаточной, то фактор не оказывает существенное влияние на величину Х.

Если факторная дисперсия больше остаточной, то применяем критерий Фишера - Снедекора, для чего найдем наблюдаемое значение критерия

F _набл = S² _факт / S² _ост

По таблице “Критические точки распределения F Фишера - Снедекора” находим критическую точку F_кр (ά; m-1; n-m), ά – уровень значимости. Если F _набл > F_кр, то гипотезу о равенстве групповых средних отвергаем, значит фактор А оказывает существенное влияние на величину Х.

Для проведения в MS Excel дисперсионного анализа необходимо:

- ввести данные в таблицу. В каждом столбце должны быть данные, соответствующие одному значению исследуемого фактора. Столбцы должны располагаться в порядке возрастания (убывания) величины исследуемого фактора;

- выбрать команду Сервис, затем Анализ данных в списке Инструменты анализа выбрать процедуру Однофакторный дисперсионный анализ;

- в появившемся диалоговом окне задать Входной интервал, то есть таблицу данных;

- в разделе Группировка переключатель установить в положение по столбцам;

- указать выходной диапазон, то есть ввести ссылку на ячейки, в которые будут выведены результаты анализа.

Пример.

Определить достоверность влияния фермента (фактора А) на выход продукта биохимического синтеза при уровне значимости a£0,05.

№ испытания	Уровни фактора А А1 А2 А3 А4

Результаты анализа.

В результате будет получена таблица

Однофакторный дисперсионный анализ
ИТОГИ
Группы	Счет	Сумма	Среднее	Дисперсия
Столбец 1
Столбец 2			67,66667	4,333333
Столбец 3			71,33333	20,33333
Столбец 4			68,33333	2,333333
Дисперсионный анализ
Источник вариации	SS	df	MS	F	P-Значение	F критическое
Между группами	30,91667		10,30556	1,212418	0,366066	4,06618
Внутри групп			8,5
Итого	98,91667

В таблице Дисперсионный анализ на пересечении строки Между группами и столбца MS находится значение факторной дисперсии 10,30556. На пересечении строки Внутри групп и столбца MS находится значение остаточной дисперсии 8,5. Наблюдаемое значение критерия Фишера – Снедекора равно 1,212418. F критическое 4,06618. F_набл.<F_кр., следовательно фактор А не оказывает существенное влияние на величину X.

7.3. Самостоятельная работа студентов под контролем преподавателя.

1. С помощью Excel выполнить корреляционный анализ.

2. Выполнить регрессионный анализ, используя пакет Excel.

3. Выполнить дисперсионный анализ, используя электронную таблицу Excel.

7.4. Контроль освоения темы занятия.

Контрольные вопросы:

1. Понятие корреляционной зависимости.

2. Метод наименьших квадратов.

3. Формула для вычисления коэффициента корреляции.

4. Выборочное уравнение линейной регрессии.

5. Какие задачи можно решить с помощью дисперсионного анализа?

6. Формулы для вычисления факторной дисперсии и остаточной дисперсии.

7. Критерий Фишера – Снедекора.

8. Условия, необходимые при проведении дисперсионного анализа.

Тестовые задания.

1. Коэффициент корреляции двух независимых случайных величин равен

1. 0

2. 1

3. –1

4. 10

5. 0,5

2. Коэффициент корреляции двух величин, связанных линейной функциональной зависимостью, в случае возрастающей зависимости равен

1. 0

2. 1

3. –1

4. 10

5. 0,5

3. Коэффициент корреляции двух величин, связанных линейной функциональной зависимостью, в случае убывающей зависимости равен

1. 0

2. 1

3. –1

4. 10

5. 0,5

4. Корреляционная зависимость между величинами –

1. это когда изменение одной из величин влечет изменение математического ожидания другой.

2. это когда каждому значению одной величины поставлено в соответствие по некоторому правилу единственное значение другой величины.

5. Критерий оптимальности метода наименьших квадратов.

1. Сумма квадратов отклонений ординат всех эмпирических точек от ординат соответствующих точек прямой должна быть максимальной.

2. Сумма квадратов отклонений ординат всех эмпирических точек от ординат соответствующих точек прямой должна быть минимальной.

3. Сумма квадратов отклонений абцисс всех эмпирических точек от абцисс соответствующих точек прямой должна быть минимальной.

4. Сумма квадратов отклонений абцисс всех эмпирических точек от абцисс соответствующих точек прямой должна быть максимальной.

6. Коэффициент корреляции r=0. Это говорит о том, что:

1. Статистическая зависимость отсутствует.

2. Связь функциональная.

3. Корреляционная зависимость отсутствует.

4. Линейная корреляционная зависимость отсутствует.

7. О линейной регрессии говорят, если график регрессии изображается

1. Гиперболой.

2. Параболой.

3. Кривой.

4. Прямой.

8. Параметр “а” в уравнении регрессии характеризует:

1. Значение при х=0.

2. Свободный член.

3. Угловой коэффициент прямой.

9. Выборочный коэффициент корреляции является оценкой генерального коэффициента корреляции тем более точной, чем объем выборки:

1. Больше.

2. Меньше.

3. Не имеет значения.

4. Среди указанных ответов нет правильного.

10. Дисперсионный анализ применяют:

1. При изучении нормального закона распределения.

2. При описании форм зависимости между случайными переменными.

3. При изучении влияния факторов на результативный признак.

4. При установлении взаимосвязей между случайными величинами.

11. Для оценки достоверности действия фактора на результативный признак применяется критерий:

1. Стьюдента.

2. Пирсона.

3. Знаков.

4. Фишера.

12. Влияние фактора А на признак Х достоверно, если

1. S²_фак.<S²_ост.

2. S²_фак.>S²_ост.

3. F_эксп.<F_кр.(a,f₁,f₂)

4. F_эксп.>F_кр.(a,f₁,f₂)

13. Что называется дисперсионным анализом:

1. Статистический метод, позволяющий оценить влияние одного или нескольких факторов на результативный признак.

2. Раздел математики, посвященный методам систематизации, обработки и исследования статистических данных.

3. Статистический метод, определяющий правила проверки достоверности выводов анализа или правильности выдвигаемых гипотез.

4. Раздел математической статистики, занимающийся установлением взаимосвязей между случайными величинами.

14. Причина, вызывающая изменения величины результативного признака:

1. Объем выборки.

2. Точность измерения.

3. Контролируемые и неконтролируемые факторы.

4. Планирование эксперимента.

15. Достоинства дисперсионного анализа:

1. Позволяет определить действие каждого регулируемого фактора в отдельности.

2. Оценить действие различных сочетаний факторов на результативный признак.

3. Оценить достоверность коэффициента корреляции.

4. Сделать вывод о линейности влияния фактора на результативный признак.

Задания.

I. Построить эмпирическое распределение следующей выборки:

1. 23, 25,24,22,21,26,27,23,25,24,24,23,27,27,26,24,25,23,25,23.

2. 32,33,34,32,34,31,35,36,34,33,32,35,32,31,33,32,34,35,34,32.

3. 15,13,12,15,17,16,15,14,13,12,16,15,15,17,16,15,13,16,13,12.

4. 43,45,46,47,45,42,43,44,45,46,41,43,46,43,48,47,46,43,45,44.

5. 54,53,53,54,56,55,57,52,53,54,51,56,54,53,56,54,53,56,57,53.

6. 65,66,67,62,63,67,68,65,67,66,61,64,63,64,67,68,65,64,63,65.

7. 76,77,78,79,75,75,76,73,73,74,75,78,76,75,76,74,74,73,73,78.

8. 88,89,86,87,85,84,83,83,87,88,86,87,86,84,85,86,83,81,82,82.

9. 98,99,96,95,96,93,92,94,93,95,96,97,94,92,91,04,93,92,96,97.

10. 101,102,108,107,105,104,104,103,103,106,104,102,107,105,104,103,

103,106,105,107.

11. 53, 55,54,52,51,56,57,53,55,54,54,53,57,57,56,54,55,53,55,53.

12. 42,43,44,42,44,41,45,46,44,43,42,45,42,41,43,42,44,45,44,42.

13. 65,63,62,65,67,66,65,64,63,62,66,65,65,67,66,65,63,66,63,62.

14. 83,85,86,87,85,82,83,84,85,86,81,83,86,83,88,87,86,83,85,84.

15. 94,93,93,94,96,95,97,92,93,94,91,96,94,93,96,94,93,96,97,93.

16. 35,36,37,32,33,37,38,35,37,36,31,34,33,34,37,38,35,34,33,35.

17. 46,47,48,49,45,45,46,43,43,44,45,48,46,45,46,44,44,43,43,48.

18. 78,79,76,77,75,74,73,73,77,78,76,77,76,74,75,76,73,71,72,72.

19. 88,89,86,85,86,83,82,84,83,85,86,87,84,82,81,84,83,82,86,87.

20. 301,302,308,307,305,304,304,303,303,306,304,302,307,305,304,303,

303,306,305,307.

21. 43, 45,44,42,41,46,47,43,45,44,44,43,47,47,46,44,45,43,45,43.

22. 52,53,54,52,54,51,55,56,54,53,52,55,52,51,53,52,54,55,54,52.

23. 25,23,22,25,27,26,25,24,23,22,26,25,25,27,26,25,23,26,23,22.

24. 73,75,76,77,75,72,73,74,75,76,71,73,76,73,78,77,76,73,75,74.

25. 44,43,43,44,46,45,47,42,43,44,41,46,44,43,46,44,43,46,47,43.

26. 75,76,77,72,73,77,78,75,77,76,71,74,73,74,77,78,75,74,73,75.

27. 86,87,88,89,85,85,86,83,83,84,85,88,86,85,86,84,84,83,83,88.

28. 98,99,96,97,95,94,93,93,97,98,96,97,96,94,95,96,93,91,92,92.

29. 68,69,66,65,66,63,62,64,63,65,66,67,64,62,61,64,63,62,66,67.

30. 201,202,208,207,205,204,204,203,203,206,204,202,207,205,204,203,

203,206,205,207.

II. Даны результаты нескольких независимых наблюдений над системой случайных величин (x, y). Требуется найти выборочный коэффициент корреляции и проверить существенность корреляционной связи при уровне значимости a=0,05.

1. (2;3),(2,4;4),(3,4;5),(3,2;3),(4,3;5),(3,1;3),(3,3;5),(2,4;5),(4,2;1),(3,2;5)

2. (1;3),(2,3;6),(5,4;5),(4,2;3),(5,3;5),(4,1;3),(2,3;5),(6,4;5),(3,2;1),(4,2;5)

3. (5;3),(2,7;6),(6,4;5),(6,2;3),(7,3;5),(5,1;3),(4,3;5),(7,4;5),(6,2;1),(6,2;5)

4. (4;3),(7,7;6),(5,4;5),(8,2;3),(6,3;5),(7,1;3),(6,3;5),(5,4;5),(4,2;1),(7,2;5)

5. (4;3),(3,7;6),(7,4;4),(6,2;3),(5,3;5),(4,1;3),(7,3;5),(6,4;5),(5,2;1),(5,2;5)

6. (4;3),(3,7;6),(7,4;4),(6,2;3),(5,3;5),(4,1;3),(7,3;5),(6,4;5),(5,2;1),(5,2;5)

7. (5;3),(4,7;6),(6,4;4),(5,2;3),(4,3;5),(5,1;3),(4,3;5),(7,4;5),(6,2;1),(6,2;5)

8. (6;3),(7,7;6),(5,4;4),(4,2;3),(5,3;5),(5,1;3),(4,3;5),(7,4;5),(6,2;1),(6,2;5)

9. (5;3),(6,7;6),(4,3;4),(6,2;3),(6,3;5),(4,1;3),(3,3;5),(5,4;5),(4,2;1),(3,2;5)

10. (4;3),(6,7;6),(3,3;4),(5,2;3),(4,3;5),(5,1;3),(4,3;5),(6,4;5),(4,2;1),(6,2;5)

11. (3;3),(3,4;4),(2,4;5),(2,2;3),(3,3;5),(2,1;3),(4,3;5),(4,4;5),(2,2;1),(2,2;5)

12. (2;3),(5,3;6),(4,4;5),(3,2;3),(4,3;5),(3,1;3),(4,3;5),(5,4;5),(2,2;1),(4,2;5)

13. (4;3),(4,7;6),(5,4;5),(4,2;3),(6,3;5),(3,1;3),(4,3;5),(6,4;5),(3,2;1),(4,2;5)

14. (2;3),(6,7;6),(4,4;5),(3,2;3),(5,3;5),(2,1;3),(4,3;5),(4,4;5),(2,2;1),(5,2;5)

15. (2;3),(5,7;6),(5,4;4),(2,2;3),(4,3;5),(3,1;3),(6,3;5),(4,4;5),(2,2;1),(3,2;5)

16. (2;3),(5,7;6),(5,4;4),(2,2;3),(4,3;5),(3,1;3),(6,3;5),(4,4;5),(2,2;1),(4,2;5)

17. (4;3),(5,7;6),(5,4;4),(4,2;3),(5,3;5),(4,1;3),(5,3;5),(6,4;5),(2,2;1),(5,2;5)

18. (2;3),(5,7;6),(5,4;4),(3,2;3),(4,3;5),(3,1;3),(6,3;5),(5,4;5),(3,2;1),(4,2;5)

19. (4;3),(5,7;6),(3,3;4),(4,2;3),(5,3;5),(3,1;3),(4,3;5),(4,4;5),(2,2;1),(4,2;5)

20. (3;4),(5,7;6),(4,3;4),(4,2;3),(3,3;5),(4,1;3),(3,3;5),(5,4;5),(2,2;1),(5,2;5)

21. (4;3),(3,4;4),(4,4;5),(2,2;3),(3,3;5),(2,1;3),(4,3;5),(4,4;5),(2,2;1),(4,2;5)

22. (2;1),(5,3;6),(4,4;5),(3,2;3),(4,3;5),(3,1;3),(4,3;5),(5,4;5),(2,2;1),(6,2;5)

23. (4;3),(5,7;6),(4,4;5),(5,2;3),(6,3;5),(3,1;3),(4,3;5),(5,4;5),(2,2;1),(5,2;5)

24. (3;3),(6,7;6),(6,4;5),(3,2;3),(4,3;5),(3,1;3),(5,3;5),(4,4;5),(2,2;1),(6,2;5)

25. (2;3),(5,7;6),(5,4;4),(3,2;3),(4,3;5),(3,1;3),(5,3;5),(5,4;5),(4,2;1),(4,2;5)

26. (5;3),(5,7;6),(6,4;4),(3,2;3),(4,3;5),(3,1;3),(6,3;5),(5,4;5),(3,2;1),(4,2;5)

27. (4;5),(5,7;6),(5,4;4),(4,2;3),(5,3;5),(4,1;3),(3,3;5),(6,4;5),(3,2;1),(4,2;5)

28. (5;3),(6,7;6),(6,4;4),(3,2;3),(4,3;5),(4,1;3),(3,3;5),(4,4;5),(3,2;1),(4,2;5)

29. (6;4),(5,7;6),(5,3;4),(5,2;3),(4,3;5),(3,1;3),(4,3;5),(4,4;5),(3,2;1),(4,2;5)

30. (4;6),(5,4;6),(2,3;4),(3,2;3),(3,3;5),(4,1;3),(3,3;5),(4,4;5),(3,2;1),(4,2;5)

III. Даны результаты нескольких независимых наблюдений над системой случайных величин (x, y). Составить уравнение линейной регрессии Y на X.

1.(1;2),(3;4),(2;3),(2;6),(4;5),(4;3),(3;4),(3;5),(4;5),(4;6)

2.(1;5),(3;6),(4;3),(3;6),(6;5),(6;3),(7;4),(5;5),(3;5),(3;6)

3. (4;5),(6;6),(5;3),(6;7),(5;6),(7;3),(6;4),(4;5),(6;7),(3;7)

4.(5;6),(7;6),(4;3),(5;7),(7;6),(3;3),(5;4),(4;5),(6;5),(3;5)

5.(3;4),(1;2),(3;2),(2;3),(3;4),(3;5),(2;3),(3;4),(5;4),(3;6)

6.(3;1),(1;3),(1;2),(2;1),(2;5),(2;5),(1;3),(4;5),(2;5),(2;1)

7.(3;1),(2;3),(4;2),(3;1),(4;5),(3;5),(4;3),(2;5),(1;5),(4;1)

8. (4;1),(4;3),(5;2),(6;1),(3;5),(4;5),(4;3),(5;5),(4;5),(3;1)

9. (5;1),(3;3),(6;2),(5;1),(5;5),(3;5),(5;3),(3;5),(3;5),(4;1)

10. (4;1),(2;3),(7;2),(6;1),(5;5),(4;5),(3;3),(7;5),(6;5),(5;1)

11.(2;2),(2;4),(3;3),(5;6),(6;5),(3;3),(5;4),(6;5),(4;5),(5;6)

12.(2;5),(4;6),(3;3),(4;6),(4;5),(5;3),(6;4),(4;5),(3;5),(4;6)

13. (4;5),(5;6),(4;3),(5;7),(4;6),(6;3),(5;4),(3;5),(5;7),(4;7)

14.(4;6),(5;6),(5;3),(6;7),(5;6),(4;3),(6;4),(3;5),(6;5),(4;5)

15.(3;4),(3;2),(1;2),(4;3),(5;4),(4;5),(2;3),(5;4),(3;4),(3;6)

16.(3;2),(2;3),(3;2),(2;3),(3;5),(2;5),(2;3),(4;5),(3;5),(2;3)

17.(3;3),(4;3),(3;2),(3;1),(2;5),(3;5),(5;3),(3;5),(1;5),(4;3)

18. (4;3),(2;3),(4;2),(5;1),(3;4),(4;5),(2;3),(4;5),(3;5),(3;2)

19. (5;4),(3;4),(6;3),(5;4),(5;6),(3;4),(5;3),(4;5),(2;5),(4;2)

20. (4;2),(2;3),(4;2),(5;2),(5;4),(4;5),(2;3),(4;5),(6;5),(5;4)

21.(3;2),(3;4),(4;3),(5;6),(3;5),(4;3),(5;4),(3;5),(3;4),(4;4)

22.(4;5),(3;6),(4;5),(5;6),(4;5),(3;3),(6;4),(5;5),(4;5),(4;6)

23. (3;5),(5;6),(4;3),(6;5),(5;6),(6;3),(5;4),(4;5),(6;5),(3;4)

24.(5;4),(5;6),(4;3),(5;6),(5;6),(3;3),(5;4),(3;5),(4;5),(4;5)

25.(5;4),(3;2),(4;2),(2;3),(3;4),(4;5),(2;3),(3;5),(3;4),(3;6)

26.(3;2),(1;3),(3;2),(2;4),(2;3),(3;5),(2;3),(3;5),(2;4),(2;2)

27.(3;4),(2;3),(5;2),(4;1),(4;5),(5;5),(4;3),(3;5),(4;5),(4;1)

28. (4;3),(5;3),(5;2),(4;1),(2;5),(4;5),(2;3),(4;5),(3;5),(3;1)

29. (5;4),(3;3),(5;2),(5;3),(5;4),(3;5),(4;3),(3;5),(4;5),(4;2)

30. (4;3),(2;3),(6;2),(6;1),(5;5),(4;3),(5;3),(6;5),(6;5),(5;1)

VI. В предположении нормальности распределения величины X методом дисперсионного анализа при уровне значимости p=0,05 проверить значимость влияния фактора A на величину X по данным, приведенным в таблице:

1.

Номер испытания	Уровни фактора A   A1 A2 A3 A4

2.

Номер испытания	Уровни фактора A   A1 A2 A3 A4

3.

Номер испытания	Уровни фактора A   A1 A2 A3 A4

4.

Номер испытания	Уровни фактора A   A1 A2 A3 A4

5.

Номер испытания	Уровни фактора A   A1 A2 A3 A4

6.

Номер испытания	Уровни фактора A   A1 A2 A3 A4

7.

Номер испытания	Уровни фактора A   A1 A2 A3 A4

8.

Номер испытания	Уровни фактора A   A1 A2 A3 A4

9.

Номер испытания	Уровни фактора A   A1 A2 A3 A4

10.

Номер испытания	Уровни фактора A   A1 A2 A3 A4

11.

Номер испытания	Уровни фактора A   A1 A2 A3 A4

12.

Номер испытания	Уровни фактора A   A1 A2 A3 A4

13.

Номер испытания	Уровни фактора A   A1 A2 A3 A4

14.

Номер испытания	Уровни фактора A   A1 A2 A3 A4

15.

Номер испытания	Уровни фактора A   A1 A2 A3 A4

Дата добавления: 2014-12-24