Понятие о закономерностях статического распределения

Понятие о закономерностях распределения. Изучение формы распределения.

Закономерностями распределения называются закономерности изменения частот в вариационных рядах. Основная задача анализа вариационных рядов заключается в выявлении подлинной закономерности распределения путем исключения влияния второстепенных, случайных для данного распределения факторов. Если увеличить объем совокупности и уменьшить интервал в группах, то графическое изображение приближается к некоторой плавной кривой, которая называется кривой распределения. Кривая распределения - графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду, функционально связанного с изменением вариант. Теоретическая кривая распределения - кривая, выражающая общую закономерность данного типа распределения в чистом виде, исключающего влияние случайных для него факторов. Выяснение общего характера распределения предполагает оценку его однородности, а также расчет показателей асимметрии и эксцесса. При сравнительном изучении асимметрии нескольких распределений с разными единицами измерения вычисляется относительный показатель асимметрии: Его величина может быть положительной (для правосторонней асимметрии) и отрицательной (для левосторонней асимметрии). Применение данного показателя дает возможность определить не только величину асимметрии, но и проверить ее наличие в генеральной совокупности. Принято считать, что асимметрия выше 0,5 (независимо от знака) считается значительной. Если асимметрия меньше 0,25, она считается незначительной.

В процессе анализа статистических данных, представленных рядами распределения, кроме знания о характере распределения (или структуре совокупности) могут вычисляться различные статистические показатели (числовые характеристики), которые в обобщенном виде отражают особенности распределения изучаемых признаков. Наличие таких характеристик (показателей) существенно облегчает сравнение различных распределений (явлений) между собой.
Эти характеристики (показатели) могут быть разделены на 3 основные группы

• 1) характеристики центра распределения (средняя, мода, медиана);
• 2) характеристики степени вариации (вариационный размах, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации);
• 3) характеристики формы (типа) распределения (показатели эксцесса и асимметрии, ранговые характеристики, кривые распределения).

Первые две группы показателей будут рассмотрены в теме 8.В данном вопросе остановимся на знакомстве с основными понятиями и характеристиками третьей группы.
Полигоны и гистограммы в общем виде дают определенное представление о связи между частной (частностью) и величиной признака. Однако эмпирическое распределение признака, т.е. распределение в том виде, как оно получено в результате наблюдения, как правило, выявляет эту закономерность неясно. Ведь на значения признаков у единиц совокупности (на индивидуальные значения) оказывают влияние различные случайные факторы. Более четкому выявлению закономерности распределения (т.е. закономерности изменения частот в вариационных рядах) способствует построение ряда с более крупными интервалами (или, что то же самое – с меньшим числом групп). Однако при слишком малом числе групп характерные особенности распределения также затушевываются.

Наиболее надежный путь выявления закономерности распределения состоит в следующем
1) увеличить количество наблюдаемых случаев (в соответствии с законом больших чисел, в таких рядах случайные отклонения от общей закономерности у индивидуальных значений будут взаимно погашаться);
2) первоначально совокупность разбивается на максимальное возможное число члены групп, а затем, постепенно сокращая число групп оптимизировать группировку с точки зрения выявления закономерности распределения. При реализации такого подхода, закономерность, характерная для данного распределения будет выступать все более и более ясно, а ломаная линия, изображающая полигон, будет приближаться к некоторой плавной линии и в пределе должна превратиться в кривую линию.
Кривая линия, которая отражает закономерность изменения частот (частностей) в чистом, исключающем влияние случайных факторов, виде, называют кривой распределения.
Кривая распределения, в отличие от полигона и гистограммы, отражает основной характер, закон данного распределения.
В идеальном случае зависимость частот (частостей, полтности распределения) от величины вариантов может быть предоставлена в виде некоторой кривой распределения определенного вида (типа).
Построение кривой распределения в сочетании с анализом сущности явления позволяют построить научную гипотезу о вероятном типе теоретической кривой распределения.
Под теоретической кривой распределения в статистике понимается предполагаемое графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду функционально связанного с изменением (величины признака) варианты.
В действительности встречаются самые различные типы распределения. В связи с этим различаются прежде всего одновершинные (одномодальные) и многовершинные (двух – трех – и т, д.) много модальные кривые распределения.
К одновершинным относятся те, в которых один вариант имеет наибольшую частоту (наибольшую плотность распределения), частоты же вариантов меньших и больших, чем это значение, убывают по мере удаления от него.
Если при этом частоты убывают одинаково и справа и слева от наибольшего центрального значения, то такие распределения называются симметричными. В них частоты вариантов, равностоящих от центрального, равны между собой.
Если частоты убывают слева и справа от центра распределения с разной скоростью, то такие распределения называются ассиметричными, выделяя при этом распределения, растянутые влево или вправо.

Степень асимметрии может быть различной от совершенно незначительной до крайней, при которой наибольшая частота относится к одному из крайних значений вариантов – самому наименьшему или наибольшему.
Идеальное симметричное распределение крайне редко встречаются на практике. Достаточно близок к нему распределения мужчин и женщин по весу или росту (при достаточно большим количестве людей, включенных в совокупность).
Основная масса распределений, с которыми приходиться иметь дело экономисту – это асимметричные распределения с разной степенью асимметрий.
Многовершинные распределения – это такие распределения, в которых несколько максимумов частоты (центральных значений признака). В экономико – статистических исследованиях многовершинность распределения является часто следствием того, что совокупность состоит из неоднородных с точки зрения изучаемого признака единиц.
Например, при проверке качества и свойств продукции, полученной на двух разных станках, почти всегда получаются кривые распределения с двумя вершинами.
Убедившись в многовершинности распределения, исследователь должен тщательно проверить, можно ли считать однородными единицы, составляющие совокупности или следует для объективности выводов разбить совокупность на две или более однородные группы.
Эксцесс – характеристика островершинности и крутизны распределения.
Количественная оценка степени ассиметрии и эксцессы рассматривается в дисциплине «математическая статистика».

Изучение формы распределения

Основная задача анализа вариационных рядов – это выявление подлинной закономерности распределения, которая достигается увеличением объема исследуемой совокупности при одновременном уменьшении интервала ряда.

Из математической статистики известно, что если увеличить объем совокупности и уменьшить интервал группировки, изобразить эти данные графически, по полигон (гистограмма) распределения все более приближается к некоторой плавной линии, являющейся для него пределом и носящей название кривой распределения.

Под кривой распределения понимается графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду, функционально связанного с изменением вариант.
Получение кривой распределения на основе полигона или гистограммы можно представить лишь для гипотетического случая, соответствующего бесконечно большому числу единиц совокупности и бесконечно малой ширине интервала ряда. Только при этих идеализированных условиях кривая распределения представляет теоретическое распределение.

Теоретической кривой распределения называется кривая, выражающая общую закономерность данного типа распределения в чистом виде, исключающего влияние случайных для него закономерностей факторов. Но получение кривой распределения из эмпирических данных (полигон, гистограмма) возможно лишь для описанного идеального случая. Поэтому при проведении анализа вариационных рядов целесообразно свести эмпирическое распределение к одному из хорошо исследованных видов теоретического распределения.

Различают следующие разновидности кривых распределения:
1) одновершинные кривые: симметричные, умеренно асимметричные и крайне асимметричные;
2) многовершинные кривые.

Для однородных совокупностей, как правило, характерны одновершинные распределения. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. Появление двух и более вершин делает необходимой перегруппировку данных с целью выделения более однородных групп.

Выяснение общего характера распределения предполагает оценку его однородности и вычисление показателей асимметрии и эксцесса. Для симметричных распределений частоты любых двух вариант, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. Рассчитанные для таких распределений средняя, мода и медиана так же равны.
При изучении асимметрии нескольких распределений с разными единицами измерения вычисляется относительный показатель асимметрии (As) , где Mo, Me – модальное (медианное) значение переменной x.
Его величина может быть положительной и отрицательной. В первом случае речь идет о правосторонней асимметрии (рис. 5.1), а во втором – о левосторонней (рис. 5.2).

Рис. 5.1. Правосторонняя асимметрия

Рис. 5.2. Левосторонняя асимметрия

Центральными называются моменты распределения, при вычислении которых за исходную величину принимаются отклонения вариантов от средней арифметической данного ряда.
Наиболее широко в качестве показателя асимметрии применяется отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению данного ряда в кубе, т.е.:
.

Применение данного показателя дает возможность определить не только величину асимметрии, но и проверить ее наличие в генеральной совокупности. Принято считать, что асимметрия выше 0,5 (независимо от знака) считается значительной, если она меньше 0,25, то – незначительной.
Оценка существенности As производится коэффициента асимметрии σAs, которая зависит от числа наблюдений n и рассчитывается по формуле:

.
В случае |As| / σAs > 3 асимметрия существенна и распределение признака в генеральной совокупности несимметрично. В противном случае асимметрия несущественна, и ее наличие может быть вызвано случайными обстоятельствами.
Для симметричных распределений может быть рассчитан показатель эксцесса (Ek). Наиболее точно он определяется по формуле с использованием центрального момента четвертого порядка:
.

Среднеквадратическая ошибка эксцесса (σEk) рассчитывается по формуле:
, где п – число наблюдений
Для определения асимметрии и эксцесса можно пользоваться упрощенными формулами, предложенными Линдбергом:
As = p – 50, где p – удельный вес (в процентах) количества тех вариант, которые превосходят среднюю арифметическую, в общем количестве вариант данного ряда;
Ek = p – 38,29, где p – доля (в процентах) количества вариант, лежащих в интервале, равном половине среднего квадратического отклонения.
Хотя показатели асимметрии и эксцесса характеризуют непосредственно лишь форму распределения признака в пределах изучаемой совокупности, но их определение имеет не только описательное значение. Часто асимметрия и эксцесс дают определенные указания для дальнейшего исследования социально-экономических явлений. Так появление значительного отрицательного эксцесса может указывать на качественную неоднородность исследуемой совокупности. Кроме того, эти показатели позволяют сделать вывод о возможности применения данного эмпирического распределения к типу кривых нормального распределения.

Дата добавления: 2014-12-24