Гіпотеза abc та її різні формулювання

Гіпотеза abc (Masser, Oesterle, 1986). При будь – якому існує така залежна від , константа , що для усіх взаємно простих натуральних чисел , таких, що , вірно нерівності

.

Еквівалентне формулювання. При будь – якому існує тільки кінечне число троєк взаємно простих натуральних чисел , таких, що і має місце нерівність

.

Зазначимо, що на сьогоднішній день не має гіпотез про ефективну оцінку ні для яких .

Чому математики схильні вважати цю гіпотезу істинною? Зрозуміло, що ця гіпотеза перевірялась численно. Але що перевірялось? Адже знаходження ще однієї - трійки ніяк не підтверджує і не спростовує гіпотезу.

Звернемо увагу на друге формулювання. Для довільної -тройки визначимо величину рівністю , звідки знайдемо .

Величина є деякою характеристикою заданої тройки. Для допустимих троек, які не є -тройками . Домовимося вважати, що -тройка тим краще, чим більше для неї значення коефіцієнта .

Наприклад ,

,

а значить тройка краще за тройку .

Вище ми привели доведення існування нескінченно великого числа -троек, для яких . Но ми не знаємо, чи існує нескінченне число -троек, для яких . Або хоча б тих, для яких (або , або )? На даний момент не відомо жодного метода, який дозволяє довести нескінченність числа -троек, для яких перевищує фіксоване число, яке більше за одиницю.

Тепер ми можемо говорити про припущення, які стосуються abc-троєк. Існує два припущення - "сильне" и "слабке".

Слабке припущення: таких, що виконується нерівність

Сильне твердження: для будь – якого існує лише кінчена множина -троек, для яких .

Сильне твердження співпадає з гіпотезою , котру можно переформулювати таким чином: число троек з високим значенням показника якості повинно бути кінечним. Слабке твердження виходить, якщо у формулюванні гіпотези замінити слова “при будь – якому ” на слова “існує ”.

Ми не знаемо, яке з них є істинним, але якщо істинне сильне твердження, то істинне і слабке. Обернене невірно, тому одне з них і називається сильним, а інше – слабким.

На даний момент було проведено велику кількість число комп’ютерних експериментів щодо пошуку троєк з більшими коефіцієнтами . Найкращі зі знайдених троєк мають вид:

,

,

.

Як бачимо, відомі максимальні значення , достатньо малі, що свідчить у користь істинності, принаймні, слабого твердження.

Дата добавления: 2014-12-24