Определители 2-го и 3-го порядка

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными в общем виде:

.

Найдем x ₁ следующим образом: чтобы исключить x ₂, умножим первое уравнение на a ₂₂ и из полученного уравнения вычтем второе, умноженное на a ₁₂:

. (1)

Обозначим D = a ₁₁ a ₂₂ – a ₁₂ a ₂₁, D₁ = b ₁ a ₂₂ – b ₂ a ₁₂.

Для определения x ₂ поступим так: умножим второе уравнение на a ₁₁ и из полученного уравнения вычтем первое, умноженное на a ₂₁:

(a ₁₁ a₂₂ – a ₁₂ a ₂₁) x _{2 =} a ₁₁ b ₂ – a ₂₁ b ₁. (2)

Обозначим D₂ = a ₁₁ b ₂ – a ₂₁ b ₁.

Из (1) и (2) видно, что если D ¹ 0, то система имеет единственное решение, определяемое формулой

. (3)

Величина D называется определителем матрицы второго порядка

.

Вообще определителем произвольной матрицы второго порядка называется число, которое обозначается и равно произ­-

ведению двух чисел, стоящих на главной диагонали минус произведение двух чисел, стоящих на другой диагонали: a ₁₁ a ₂₂ – a ₁₂ a ₂₁.

Например,

.

Из сказанного следует, что величины D₁ и D₂ в (3) тоже являются определителями:

.

Рассмотрим теперь систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

. (4)

Введем определение. Определителем произвольной квадратной матрицы третьего порядка называется сумма шести слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение трех элементов матрицы, выбираемых по следующему правилу: три произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников: , берутся со знаком "+", а три произведения элементов, стоящих на второй диагонали и в вершинах двух других треугольников: , берутся со знаком "-". Определитель третьего порядка обозначается так:

.

Например,

Решая систему (4), можно получить равенства

D× x ₁ = D₁; D× x ₂ = D₂; D× x ₃ = D₃, (5)

где

.

Из формул (5) видно, что если D ¹ 0, то единственным образом определяется решение системы:

.

Решая квадратные системы линейных уравнений 4-го, 5-го или любого более высокого порядка, можно получить формулы, аналогичные формулам (1), (2) или (5).

Дата добавления: 2014-12-24