Лекция 8. Многочлены от одной переменной НОД многочленов. Корни многочленов. Формулы Виета. Основная теорема алгебры и ее следствие

Изучение многочленов связано с задачей решения уравнения -ой степени (где - некоторое целое положительное число)

- комплексные числа, .

Определение. Многочленом -ой степени от неизвестного х называется выражение вида или . Для сокращенной записи употребляют символы и т.д.

Определение. Два многочлена и называются равными (или тождественно равными), если равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного.

Отличные от нуля комплексные числа являются многочленами нулевой степени. Число нуль является единственным многочленом, степень которого не определена.

Определим для многочленов с комплексными коэффициентами операции сложения и умножения:

1)

где при

Если , степень суммы , но при , если , степень

.

2) где

, значит, степень

произведения равна сумме степеней и .

Эти операции являются коммутативными и ассоциативными, связаны законом дистрибутивности. Для сложения существует обратная операция - вычитание. Роль нуля играет число нуль, а противоположным для многочленом будет многочлен .Роль единицы при умножении многочленов играет число I, как многочлен нулевой степени. Обратная операция для умножения - деление - не существует. Многочлен обладает обратным многочленом является многочленом нулевой степени.

Для многочленов существует алгоритм деления с остатком.

Теорема. Для любых многочленов и можно найти такие многочлены и что , причем степень меньше степени или же . Многочлены и , удовлетворяющие этому условию, определяются однозначно. называется частным от деления на , - остатком от этого деления.

Пусть и ненулевые многочлены с комплексными коэффициентами.

Определение. Если остаток от деления на равен нулю, т.е., как говорят делиться на , то называется делителем .

Теорема. является делителем .

Пусть и произвольные многочлены.

Определение. Многочлен называется общим делителем для и , если он делитель для каждого из них.

Определение. Многочлены и называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, кроме многочленов нулевой степени.

Определение. Наибольшим общим делителем отличных от нуля многочленов и называется такой многочлен , который является их общим делителем и, вместе с тем, сам делится на любой другой общий делитель этих многочленов. НОД .

Теорема. Любые два многочлена обладают НОД. (Алгоритм Евклида - алгоритм последовательного деления).

Теорема. и взаимно просты НОД .

Дата добавления: 2014-12-24