Общие свойства собственных функций и собственных значений операторов физических величин

47. Система находится в состоянии с нормированной волновой функцией Ψ(x, t). Разложение этой функции по нормированным

собственным функциям оператора физической величины ^ˆ, f _n (x) A

обладающего дискретным спектром собственных значений a_n, имеет вид: Ψ (x, t) = ∑ C _n (t) f _n (x). Пусть каждому собственному значению a_n отвечает единственная собственная функция f _n (x).

Чему равна вероятность того, что в момент времени t величина A имеет значение, равное a_n?

А. C n (t)	Б.		C n (t)
В.		C n (t)			Г. Re (Cn (t))
48.Известны собственные значения ai	оператора некоторой физи-
ческой величины A и отвечающие им нормированные на единицу
собственные функции:	a 1↔ f 1(x), a 2	↔ f 12 (x) и f 22 (x) (две

линейно независимых функции), a ₃ ↔ f ₃ (x), …. Задано разложе-ние нормированной волновой функции квантовой системы Ψ(x) по собственным функциям

Ψ (x) = C ₁ f ₁ (x) + C ₂₁ f ₂₁ (x) + C ₂₂ f ₂₂ (x) + C ₃ f ₃ (x)

(где C – некоторые числа). Измеряют физическую величину A. С какой вероятностью значение a ₂ можно получить при измерениях?

А. w (a) =| C |^2			Б. w (a) =| C |^2
В. w (a) =| C		+ C		|^2	Г. w (a) =| C |^2	+ | C		|^2

49. В некоторый момент времени нормированная волновая функ-

ция системы имеет вид Ψ (x) = ¹₃ ϕ _{A =1} (x) + ² ₃ ϕ_{A =3} (x), где

ϕ_{A =1}(x)и ϕ_{A =3}(x)–нормированные собственные функции опера-

тора физической величины ^ˆ, отвечающие собственным значени-

A

ям A =1 и A = 3, соответственно. Среднее значение величины фи-

зической величины A в этот момент равно
А. 7 / 3	Б. 2	В. 5 / 3	Г. 4 / 3

50. Частица находится в квантовом состоянии,описываемом нор-мированной волновой функцией Ψ(r, t). Какое из нижеследую-щих утверждений справедливо?

А. Ψ(r, t) ² dV есть вероятность обнаружить частицу в момент времени t в объеме dV в окрестности точки r

Б. Ψ(r, t) ² dt есть вероятность обнаружить частицу в точке r в интервале времени (t, t + dt)

В. Ψ(r, t) ² dVdt есть вероятность обнаружить частицу в интерва-

ле времени (t, t + dt) в объеме dV	в окрестности точки r
Г. все утверждения неправильны	ˆ
51.Как определяется оператор четности P,действующий в про-
странстве функций одной переменной?
ˆ
А. Pf (x) = − f (x)
ˆ	(x) = f (− x)
Б. Pf
ˆ	α
В. Pf (x) = (−1) f (− x), где α – некоторое число
ˆ	(x) = − f (− x)
Г. Pf
52.Собственными значениями оператора четности являются
А. все четные целые числа	Б. все нечетные целые числа
В. +1 и –1	Г. 0 и 1

53. Собственными функциями оператора четности являютсяА. все четные функции и только они Б. все нечетные функции и только они

В. все четные функции (отвечают собственному значению +1) и все нечетные функции (отвечают собственному значению -1)

Г. все четные функции (отвечают собственному значению -1) и все нечетные функции (отвечают собственному значению +1)

54. Квантовая система описывается нормированной волновой

функцией Ψ(x, t). Физической величине A отвечает оператор ^ˆ.

A

По какой формуле из нижеследующих формул можно вычислить среднее значение результатов многих измерений величины A над ансамблем таких квантовых систем?

А. ∫ ψ	*		ˆ	Б. ∫	ˆ
	(x, t) Aψ (x, t) dx	A ψ | (x, t) | dx
			ˆ	ˆ
В. ∫ ψ | (x, t) |	Adx	Г. A ∫	| ψ (x, t) | dx

55. Волновая функция квантовой системы имеет видsin x +cos x (−1 < x <1). Чему равна средняя четность этого состояния?

А. +1	Б. –1	В. 0

ей Ψ(x, t)

Г. среднюю четность в этом состоянии нельзя определить 56. Пространство состояний частицы представляет собой простран-

ство функций одной переменной, определенных на отрезке [− a, a ]. Частица находится в состоянии с нормированной волновой функ-

цией ψ (x). Известно, что

∫ ^a ψ ^*(− x) ψ (x) dx = α. Чему равна сред-

− a

няя четность рассматриваемого состояния?

А.

= α

Б.

= − α

В.

= α / 2

Г.

= − α / 2

P

P

P

P

57.Что означает,что физическая величина

A имеет в некотором

состоянии квантовой системы определенное значение (или, как иногда говорят, является измеримой)?

А. результаты многократных измерений величины A над ансамб-лем таких квантовых систем дадут одинаковые результаты

Б. в данном состоянии квантовой системы величину A можно из-мерить

В. результаты повторных измерений величины A в одной и той же квантовой системе дадут одинаковые результаты

Г. величину A в принципе можно измерить

58. Физическая величина A имеет в состоянии с волновой функци-

определенное значение, если

А. Ψ не зависит от времени

Б. Ψ(x, t) совпадает с одной из собственных функций оператора

этой физической величины ^ˆ

A

В. Ψ(x, t) является собственной функцией оператора Гамильтона системы Г. Ψ не зависит от координат

59. Оператор некоторой физической величины имеет непрерывныйспектр собственных значений. Интеграл от квадрата модуля собст-венной функции А. сходится Б. расходится

В. для некоторых состояний сходится, для некоторых расходится Г. это не связанные друг с другом вещи

60. Оператор некоторой физической величины имеет дискретный спектр собственных значений. Интеграл от квадрата модуля собст-венной функции А. сходится Б. расходится

В. для некоторых состояний сходится, для некоторых расходится Г. это не связанные друг с другом вещи

61. Эрмитов оператор действует в линейном пространстве функций одной переменной. Какой формулой выражается условие ортого-

нальности собственных функций f ₁ (x) и f ₂ (x), отвечающих раз-ным собственным значениям?

А. f 1 (x) ⊥ f 2 (x)	Б. ∫ f 1^* (x) f 2 (x) dx =0
В. ∫ f 1 (x) f 2 (x) dx =0	Г. ∫ f 1^* (x) f 2	^* (x) xdx =0

62. Разные собственные функции эрмитового оператора, отвечаю-щие одному и тому же вырожденному собственному значению А. всегда ортогональны Б. всегда не ортогональны

В. вообще говоря, не ортогональны, но могут быть выбраны так, чтобы были ортогональны Г. ортогональность или неортогональность зависит от оператора

63. Какой формулой выражается условие нормировки собственных

функций f _a (x) оператора физической величины, имеющего не-прерывный спектр собственных значений a?

	*	′
А. ∫| f a (x) | dx =1	Б. ∫ f a	(x) f a ′ (x) dx = δ (a − a)
В. ∫ f a ^* (x) f a (x ′) da = δ (x − x ′)	Г. ∫| f a (x) |^2 da =1

(где δ (...) – δ -функция)

64. Какой формулой выражается условие нормировки собственных

функций f n (x) оператора физической величины,	имеющего дис-
кретный спектр собственных значений?
	*		′
А. ∫| f n (x) | dx =1	Б. ∫ f n	(x) f n ′ (x) dx = δ (n − n)
В. ∑ f n ^* (x) f n (x ′) = δ (x − x ′)	Г. ∫| f n (x) |^2 dn =1
n

(где δ (...) – δ -функция)

65. Какой формулой выражается условие полноты системы собст-венных функций f _a (x) оператора физической величины, имеюще-го непрерывный спектр собственных значений

	Б.	∫	*	′
А. ∫| f a (x) | dx =1	f a	(x) f a ′ (x) dx = δ (a − a)
В. ∫ f a ^* (x) f a (x ′) da = δ (x − x ′)	Г.	∫| fa (x) |^2 da =1
(где δ (...) – δ -функция)

66. Оператор некоторой физической величины A имеет различныесобственные значения a_n и отвечающие им нормированные собст-

венные функции f _n (x). Какой должна быть нормированная волно-вая функция ψ (x) квантовой системы, чтобы при измерении фи-зической величины A в ней с единичной вероятностью можно бы-ло обнаружить значение (a ₁ + a ₂) / 2?

А. ψ (x) = (f ₁ (x) + f ₂ (x))/ 2

Б. ψ (x) = (f ₁ (x) + f ₂ (x) + f ₃ (x))/ 3

В. ψ (x) = f ₁ (x) + f ₂ (x)

Г. такого состояния не существует

67. Оператор некоторой физической величины A имеет различныесобственные значения a_n и отвечающие им нормированные собст-

венные функции f _n (x). Какой должна быть нормированная волно-вая функция ψ (x) системы, чтобы при измерении физической ве-личины A в ней с равными вероятностями можно было обнару-жить значения a ₁ и a ₂, а с вдвое большей вероятностью – a ₃?

А. ψ (x) = (f ₁ (x) − f ₂ (x) + 2 if ₃ (x))/ 6 Б. ψ (x) = (f ₁ (x) − f ₂ (x) − 2 f ₃ (x))/ 6

В. ψ (x) = (f ₁ (x) + f ₂ (x) − 2 if ₃ (x))/ 2

Г. такого состояния не существует

68. Оператор физической величины A имеет непрерывный спектрсобственных значений a и отвечающих им собственных функций

f _a (x).Какая из нижеперечисленных формул выражает собой раз-ложение некоторой волновой функции Ψ(x) по собственным

функциям?
А. Ψ (x) = ∫ C (a) f a (x) da	Б.	Ψ (x) = ∫ C (x ′) f a (x ′) dx ′
В. f a (x) = ∫ C (x ′)Ψ(x ′) dx ′	Г.	f a (x)=∫ C (a ′)Ψ(x) da ′

69. Оператор физической величины A имеет непрерывный спектрсобственных значений a и отвечающих им собственных функций

f _a (x)(f _a (x)нормированы на δ -функцию от a).По какой изнижеперечисленных формул можно найти коэффициенты разложе-ния C (a) некоторой нормированной волновой функции Ψ(x) по собственным функциям f _a (x)?

А. C (a) = _∫ Ψ(x) f _a (x) dx Б. C (a) = _∫ Ψ^* (x) f _a (x) dx

В. C (a) = _∫ Ψ(x) f _a ^* (x) dx Г. C (a) = _∫ Ψ^* (x) f _a ^* (x) dx

70. Оператор физической величины A имеет непрерывный спектрсобственных значений a и отвечающих им собственных функций

f _a (x)(f _a (x)нормированы на δ -функцию от a).Разложениеволновой функции Ψ(x) по собственным функциям имеет вид Ψ (x) = _∫ C (a) f _a (x) da, где C (a) – коэффициенты разложения,

причем функция C (a) конечна во всех точках. Чему равна вероят-

ность того, что при измерении физической величины A будет по-лучено некоторое заданное значение a?

А. | C (a) | Б. | C (a) |² В. 0 Г. _∫| f _a (x) |² dx

71. Оператор физической величины A имеет непрерывный спектрсобственных значений a и отвечающих им собственных функций

f _a (x)(f _a (x)нормированы на δ -функцию от a).Разложениеволновой функции Ψ(x) по собственным функциям имеет вид Ψ (x) = _∫ C (a) f _a (x) da, где C (a) – коэффициенты разложения,

причем функция C (a) всюду конечна. Чему равна вероятность то-го, что при измерении физической величины A будет получено любое значение из малого интервала da вблизи значения a ₀?

А. | C (a) |^2	Б. | C (a		) |^2	da
В. 0, так как интервал da – мал	Г. ∫| f a 0 (x) |^2 dx

72. Оператор физической величины A имеет непрерывный спектрсобственных значений a и отвечающих им собственных функций

f _a (x)(f _a (x)нормированы на δ -функцию от a).Разложениеволновой функции Ψ(x) по собственным функциям содержит только две собственных функции: Ψ (x, t) = (f _{a 1} (x) + f _{a 2} (x)) / 2.

Какие значения физической величины A можно обнаружить при измерениях?

А. любые, так как спектр собственных значений оператора непре-рывен

Б. определенное значение (a ₁ + a ₂)/ 2

В. только a ₁ и a ₂

Г. только a ₁, a ₂ и (a ₁ + a ₂)/ 2

73. Разложение волновой функции квантовой системыΨ(x)поортонормированным собственным функциям оператора некоторой физической величины ϕ_n (x) имеет вид

Ψ (x) =

ϕ (x)−

ϕ

(x) + i

ϕ

(x) +

ϕ

(x).

Что можно сказать о нормировке этой функции?

А. ненормирована

Б. нормирована на 1

В. нормирована на –1

Г. нормирована на 2

74. Физическая величина A в некоторой квантовой системе можетпринимать два значения 1 и 4. В результате проведения многократ-ных измерений над ансамблем таких квантовых систем оказалось,

что A = 2 (A – среднее значение результатов этих эксперимен-тов). Чему равны вероятности обнаружения возможных значений величины A в каждом опыте?

А. w (1) = 1/ 4, w (4) = 3 / 4	Б. w (1)	=1/ 3,	w (4)=2 /
В. w (1) = 3 / 4,	w (4)=1/ 4	Г. w (1)	= 2 / 3,	w (4)=1/
75.Физическая величина A в некоторой квантовой системе может
принимать	три	значения 1,		и	5 с	вероятностями
w (1)=1/ 6,	w (4)=1/ 3, w (5)=1/ 2.	Чему равно среднее значе-

ние результатов многих измерений величины A, выполненных над ансамблем таких квантовых систем?

А. A = 2 Б. A = 3 В. A = 4 Г. A = 5

76. Волновая функция некоторой квантовой системы в некоторыймомент времени совпадает с n -й собственной функцией оператора

физической величина ^ˆ. При измерении физической величины

A A

в этот момент времени будут получены

А. n +1-е и n −1-е собственные значения с одинаковыми вероят-ностями

Б. n -е собственное значение с единичной вероятностью В. все собственные значения с равными вероятностями

Г. все собственные значения с номерами, меньшими или равными n

77. Какой формулой выражается условие полноты системы собст-венных функций f _n (x) оператора физической величины, имеюще-го дискретный спектр собственных значений?

А. ∫| f n (x) |^2 dx =1	Б. ∫ f n ^* (x) f n ′ (x) dx = δnn ′
В. ∑ f n ^* (x) f n (x ′) = δ (x − x ′)	Г. ∑ f n ^* (x) f n ′ (x) =1
n	nn ′

(где δ_{nn ′} и δ (x − x ′) δ -символ и δ -функция)

78. Волновая функция частицы в некоторый момент времени равнаΨ(x). Оператор физической величины A имеет дискретный

спектр невырожденных собственных значений a_n и отвечающих им собственных функций f _n (x) (f _n (x) нормированы на единицу). Чему равна вероятность того, что при измерении величины A бу-дет обнаружено, что A = a_k?

А.

∫Ψ(x) f k (x) dx

Б.

∫Ψ^2 (x) f k (x) dx

В.

∫Ψ^* (x) f k (x) dx

Г. ни одной из приведенных величин

79. Волновые функции квантовой системы определены на интерва-ле [− x ₀, x ₀ ]. Собственные функции оператора физической величи-

ны f _n (x), отвечающие дискретным собственным значениям a_n,

равны	f n (x)= C n cos(x + πn / 2)(индекс	n пробегает	значения
n =0,1, 2, 3,..., Cn	– постоянные). Чему равна вероятность того,
что при	измерениях величины A можно	обнаружить	значение
A = a,в состоянии с волновой функциейΨ(x)= Bx ^2?
А. w (a 3) =1/ 4	Б. w (a 3) =1/ 3	В. w (a 3) =1/ 2
Г. w (a 3) = 0

80. Что означает утверждение,что выбор собственных функцийоператора, отвечающих вырожденному собственному значению, является неоднозначным?

А. эти функции определены с точностью до множителя Б. любые их линейные комбинации также будут собственными функциями

В. уравнение на собственные значения в этом случае не имеет ре-шений Г. произведение любых двух собственных функций также будет

собственной функцией

Дата добавления: 2014-12-24