Распределение Больцмана. Распределение Максвелла

Система постулатов статистики.

Распределение Гиббса — распределение, определяющее количества частиц в различных квантовых состояниях. Основывается на постулатах статистики:

Все доступные микросостояния системы равновероятны.

Равновесию соответствует наиболее вероятное распределение (подсистем по состояниям).

Вероятность пребывания подсистемы в некотором состоянии определяется только энергией состояния.

Распределение Гиббса представляет наиболее общую и удобную основу для построения равновесной статистической механики.

Распределение, закон Максвелла-Больцмана — распределение молекул газа по координатам и скоростям при наличии произвольного потенциального силового поля; открыто Л. Больцманом в 1871.

Вывод из распределения Гиббса

Рассмотрим систему частиц, находящуюся в однородном поле. В таком поле каждая молекула идеального газа обладает полной энергией

ε = εkin + u(x,y,z),

где εkin — кинетическая энергия её поступательного движения, u — потенциальная энергия во внешнем поле, которая зависит от её положения.

Подставим это выражение для энергии в распределение Гиббса для молекулы идеального газа:

где dw — вероятность того, что частица находится в состоянии со значениями координат q и импульсов p, в интервале dpx dpy dpz dV. Имеем:

, где интеграл состояний равен:

интегрирование ведется по всем возможным значениям переменных. Далее интеграл состояний можно написать в виде:

,

мы находим, что нормированное на единицу распределение Гиббса для молекулы газа при наличии внешнего поля имеет вид:

.

Полученное распределение, характеризующее вероятность того, что молекула имеет данный импульс и находится в данном элементе объема, называется распределением Максвелла-Больцмана.

Дата добавления: 2014-12-24