Определение предела числовой функции. Односторонние пределы. Свойства пределов

Исследование кривой второго порядка по ее уравнению без произведения координат.

Уравнение вида Ax²+Cy²+2Dx+2Ey+F=0 всегда определяет либо окружность (при А=С), либо эллипс (при А*С>0), либо гиперболу (при А*С<0), либо параболу (при А*С=0), при этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) – в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы – в пару пересекающихся прямых, для параболы – в пару параллельных прямых.

Общее уравнение второй степени с двумя неизвестными: Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0

Коэффициент В с произведением координат преобразовывает уравнение путем поворота координатных осей.

Число А называется пределом функции y=f(x) в точке х₀, если для любой последовательности допустимых значений аргумента x_n, n€N (x_n≠x₀), сходящейся к х₀

(т.е. ), последовательность соответствующих значений функции f(x_n), n€N, сходится к числу А, т.е. . Геометрический смысл предела этой функции, что для всех точек х, достаточно близких к точке х₀, соответствующие значения функции как угодно мало отличается от числа А.

Односторонние пределы.

Считается, что х стремится к х₀ любым способом: оставаясь меньшим, чем х₀ (слева от х₀), большим, чем х₀ (справа от х₀), или колеблясь около точки х₀.

Число А₁ называется пределом функции y=f(x) слева в точке х₀, если для любого ε<0 существует число σ=σ(ε)>0 такое, что при х€(x₀-σ;x₀), выполняется неравенство |f(x)-A₁|<ε

Пределом функции справа называется

Свойства пределов.

1) если предел функция равна этому числу плюс б.м.

ε – сколь угодно малое число

|f(x)-a|=α; f(x)=a+ α

2) сумма конечного числа б.м. чисел есть б.м. число

3) предел произведения равен произведению пределов

4) константы можно выносить за знак предела

5)

32. Замечательные пределы.

1 замечательный предел.

Возьмем круг радиуса 1, обозначим

радианную меру угла MOB через Х.

Пусть 0 < X < π/2. На рисунке |АМ| = sin x, дуга МВ численно равна центральному углу Х, |BC| = tg x. Тогда

Разделим все на и получим:

Т.к. , то по признаку существования пределов следует .

2 замечательный предел.

Пусть х→∞. Каждое значение х заключено между двумя положительными целыми числами:

Если x→∞, то n→∞, тогда

По признаку о существовании пределов:

Дата добавления: 2014-12-25