Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Теорема сложения вероятностей




Суммой А+В двух событий А и В называется событие, состоящее в появлении события А или В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела, событие А - попадание при первом выстреле, событие В — попадание при втором выстреле, то событие А+В — попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

В частности, если два события А и В — несовместимы, то А+В событие, состоящее в появлении одного из этих событий.

Рассмотрим более сложный случай. Пусть имеются три станка. Событие A 1 — безотказная работа первого станка (событие —отказ в работе первого станка), событие А 2 — безотказная работа второго станка (событие —отказ в работе второго станка). Событие А 3 — безотказная работа третьего станка. (Событие —отказ в работе третьего станка).

Событие — безотказная работа только одного станка представляет собой сумму трех событий , состоящее в безотказной работе первого станка и отказе в работе второго и третьего станков — событие ; в безотказной работе второго станка и в отказе работы первого и третьего станков — событие ; в безотказной работе третьего станка и в отказе в работе первого и второго станков — событие . Итак, суммой трех указанных событий называется событие, состоящее в появлении события или события илисобытия .

Как найти вероятность суммы случайных событий, если известны вероятности появления каждого из этих событий в отдельности?

Рассмотрим вначале несовместные события.

Теорема 1.

Вероятность суммы нескольких несовместных событий A1, A2...An равна сумме вероятностей этих событий

Р (А12…+Аn) (А1) (А2) +...+Р (Аn).

Доказательство:

Проведем доказательство этой теоремы для схемы урн. Введем обозначения: n -общее число шаров в урне (цветных и белых), m - общее число цветных, (m 1 число шаров определенного цвета), так что .

Число элементарных исходов, благоприятствующих извлечению цветного шара, равно . Следовательно

.

Принимая во внимание, что ,

Окончательно получим .

Теорема 2.

Сумма вероятности событий А1, А2...Аn, образующих полную группу, равна единице. Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного событий равна единице, то

Р (А12+...+Аn) = 1

События, составляющие полную группу событий, несовместны, поэтому, применяя теорему сложения вероятностей, получим:

Р (А 1 2+...+Аn) (А 1) (А2) +...+Р (Аn).

Окончательно

Р (А1) (А2) +...+Р (Аn) = 1.

Противоположными называются два события, образующие полную группу событий. Из предыдущей теоремы следует, что сумма вероятностей противоположных событий А и равна единице.

Пример 1.5.1.

По цели осуществляется залп из двух орудий. Вероятность попадания в цель из первого орудия , из второго . Какова вероятность поражения цели, если для этого достаточно хотя бы одного попадания в цель?

Исходим из того события: хотя бы одно попадание в цель и промах образуют полную группу событий. Искомая вероятность равна:

.

Пример 1.5.2.

Вероятности обрывной работы трех ткацких станков равны, соответственно 0,1; 0,2 и 0,3. Найти вероятность безобрывной работы хотя бы одного из станков.

Решение:

События "работает безобрывно хотя бы один из станков" и "работают с обрывом все станки" составляют полную группу событий. Обозначим события - обрывную работу первого, второго и третьего станков соответственно через .

Искомая вероятность Р равна .

События —независимые. Применяя теорему умножения вероятностей, окончательно получим

Р =1- Р (А 1) Р (А 2) Р (А 3)=1-0,1 0,2·0,3 = 0,994.

Пример 1.5.3.

Работница обслуживает три ткацких станка. Вероятность того, что в течение времени первый станок (событие A 1 не потребует внимания Р (A 1)=0,9, второй (событие А 2) — Р (А 2)=0,8 и третий (событие А 3) Р (А 3)=0,7. Найти вероятность того, что в течение того же времени:

а) все три потребуют внимания;

б) только один потребует внимания;

в) только два потребуют внимания.

а) События противоположны событиям А 1, А 2, А3 соответственно, следовательно:

; .

Вероятность того, что все три машины потребуют внимания равно

;

б) Событие — работает только один станок, представляет собой сумму трех событий:

,

Используя теорему сложения и умножения вероятностей, искомая вероятность равна:

.

в) Событие — работают только два станка, представляет собой сумму трех событий:

.

Искомая вероятность равна:

.

Рассмотрим теорему сложения вероятностей для совместных событий.

Теорема 3.

Вероятность суммы двух совместных событий A 1 2 (A 1 +A2) равна сумме вероятностей этих событий Р (A 1) и Р (А 2) без вероятности их совместного появления P (A 1 A 2)

P (A l+ A 2) = P (A I) + P (A 2) - P (A1A2).

Доказательство:

Поскольку события A 1 и А 2 по условию совместны, то событие A 1+ А 2 наступит, если наступит одно из следующих несовместных событий:

, или .

По теореме сложения вероятностей,

Р (А12) = (1).

Событие A 1 наступит, если наступит одно из несовместных событий и .

По теореме сложения вероятностей

, отсюда (2)

Аналогично

, или .

Подставляя выражения (2) и (3)в выражение (1) получим:

.

На этом заканчивается доказательство теоремы.

Пример 1.5.4.

Вероятность попадания в цель при стрельбе из первого и второго орудий соответственно равна Р (А1) = 0,7; Р (А2)=0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий), хотя бы одним из орудий.

Решение:

Искомая вероятность:

0,7 +0,8 -0,56=0,94.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-25; Просмотров: 571; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.021 сек.