Формула полной вероятности. Пусть событие А может наступить при условии появления одного из событий B1, В2

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из событий B₁, В₂...В_n, которые образуют полную группу событий. Пусть известны вероятности этих событий Р (B₁), …Р (В₂), ...Р (В_n) и условные вероятности события А. Тогда справедлива следующая теорема:

Теорема.

Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из событий B₁, B₂...B_n, образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А.

.

Доказательство теоремы следует из того, что событие А наступает вместе с несовместными событиями В₁ A, B₂ А...В_n А..

Пример 1.6.1

В первой коробке содержится 20 деталей раскройки, из них 18 стандартных. Во второй коробке — 10 деталей, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята деталь и переложена в первую коробку. Найти вероятность, что деталь, наудачу извлеченная из первой коробки, стандартная.

Решение.

Событие А — из первой коробки извлечена стандартная деталь. Событие В ₁ — из второй коробки извлечена стандартная деталь, вероятность этого события

.

Событие В ₂ — из второй коробки извлечена нестандартная деталь, вероятность этого события

.

Событие А наступает вместе с событием АВ ₁ и АВ ₂.

Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная деталь, при условии, что из второй коробки в первую переложена стандартная деталь

.

Условная вероятность того, что: из первой коробки извлечена стандартная деталь, при условии, что из второй коробки в первую переложена нестандартная деталь:

.

Используя формулу полной вероятности, получим искомую вероятность:

.

Дата добавления: 2014-12-25