Решение тренировочных заданий. 1. Поскольку у числа три верные цифры в широком(узком) смысле, то абсолютная погрешность данного числа не превосходит единицы (половины единицы) последнего

Задание I.

1. Поскольку у числа три верные цифры в широком(узком) смысле, то абсолютная погрешность данного числа не превосходит единицы (половины единицы) последнего верного разряда, т.е.

D £ w × 10 m-n+1 = 0,1 × w =

d £

2. В силу соотношения для абсолютной погрешности имеем

0,007 £ w × 10 0-n+1.

Решение этого неравенства есть

n £ 3 при w = 1;

n £ 2 при w = 0,5.

Таким образом, у приближенного числа = 2,7182 по крайней мере три верных знака в широком смысле и два верных знака в узком смысле. Про остальные цифры мы не можем сказать, верные они или нет.

3. Определим »0,028

и потребуем выполнения неравенства (5):

0,028 £ w × 10^-n+1.

Решив это неравенство, получим

n £ 2 при w = 1 и w = 0,5. Таким образом, у приближенного числа по крайней мере два верных знака в широком и узком смысле.

Задание II.

1. а) Если у приближенного числа будет n верных знаков в смысле w, то его абсолютная погрешность не будет превышать w × 10 m-n+1. Поэтому n следует выбрать таким, чтобы выполнялось неравенство:

w× 10 m-n+1 £ e,

принимающее для данной задачи следующий вид:

w× 10 -n+1 £ 0,007.

Решая его при w = 1, получаем n ³ 4, а при w = 0,5 - n .

Следовательно, для того, чтобы абсолютная погрешность приближенного числа не превышала 0,007, необходимо взять не менее четырех верных знаков в широком смысле: 4,582 (или трех верных знаков в узком смысле: 4,58).

б) Если у приближенного числа будет n верных знаков в смысле w, то его относительная погрешность не будет превышать . Поэтому n следует выбрать таким, чтобы выполнялось неравенство:

,

принимающее для данной задачи следующий вид:

.

Решая его при w = 1 и w = 0,5, получаем один и тот же результат:

n ³3. Следовательно, для того, чтобы относительная погрешность приближенного значения не превышала 1%, необходимо взять не менее трех верных знаков в широком и узком смысле: 4,58.

2. В формулу для вычисления y входят три приближенных аргумента: x₁ = , x₂ = p, x₃ = e. Bозьмем их значения с четырьмя верными знаками.

x₁ = 2,236; x₂ = 3,142; x₃ = 2,718

D x₁ = D x₂ = D 0,0005.

Вычислим приближенное значение функции

.

Далее имеем

D y = b₁ D x₁ + b₂ D x₂+ b₃ D x₃ , где

и, следовательно,

D y = (0,1924 + 0,0724 + 2,4730) × 0,0005 = 0,00137.

Ответ: y =5,513216 имеет абсолютную погрешность D y =0,00137, т.е. три верных знака.

3. Исходя из приближенных значений x₃ = e =2,7, определим приближенные значения функции и ее частных производных.

;

Абсолютная погрешность величины y удовлетворяет неравенству (5):

Используя предположение о равенстве абсолютных погрешностей аргументов, имеем, согласно (16):

Таким образом, каждый из приближенных аргументов следует взять с пятью верными знаками.

Ответ: х₁ = √5 = 2,23607 – 0,02 * 10^-4.

Задание III.

1. В формулу для вычисления y входят четыре аргумента: Их приближенные значения с четырьмя верными знаками: x₁= 2,718; x₂ = 2,222; x₃ = 3,142; x₄ = 0,3640; D x₁= D x₂= D x = 0,0005;D x₄= 0,00005.

Представим функцию y как сумму двух функций:

y= y ₁ + y ₂,

где

.

Вычислим приближенные значения этих функций

y ₃ = sin 2,222 = 0,7954;

y ₂= lg 0,3640= - 0,4389;

y = y₁ + y₂ = -0,3061.

Дале имеем

Абсолютную погрешность D y₁ выразим через относительную

D y₁ = d y₁× ½ y₁ ½,

а для вычисления d y₁ удобно воспользоваться равенствами (10), (12), (13):

d y₁= 1/2 × 0,000184 + 0,000381 + 2 × 0,000159 = 0,000791;

= 0,1328 × 0,000791 = 0,000105.

Согласно (9) имеем

D y= D y₁ + D y₂ = 0,000105 +0,000060 = 0,000165.

Таким образом, приближенное значение y = - 0,3061 имеет три верных знака.

2. Положим

x1 = e, x2 = , x3 = p,

x4 = tg 20°; y = y1+y2; ; y2 = lg x4; y3 = sin x2. Взяв предварительно приближенные аргументы с двумя верными знаками: x1 = 2,7; x2 = 2,2; x3 = 3,1;

x4 = 0,36, вычислим приближенные значения функций:

y3 = sin 2,2 = 0,79

y2 = lg 0,36 = -0,44

y = y1 + y2 = 0,13 - 0,44 = -0,31.

По условию

.

Имеем

D y = D y1 +D y2 £ 0,0005

откуда, предполагая, что D y1 = D y2 получим согласно (8)

и D x4 £ 0,00025 × ln 10 × x4 = 0,00025 ×2,303 × 0,35 = 0,00020.

Вычислим теперь предельно допустимое значение для относительной погрешности d y1. Т.к. , а D y1 £ 0,00025,

то d y1 £ 0,00025/½ y1 ½= 0,00025/0,13 = 0,0019.

Согласно (10)

d y1 = 0,5d x1 +d y3 +2d x3 £ 0,0019.

Предполагая, что d x1 = d y3 = d x3, получим

d x1 = d y3 = d x3 £ 0,0019/3,5 = 0,00054.

Для x1 имеем

D x1 = d x1 × | x1 | £ 0,00054× 2,7 = 0,0014...

Для y3 = sin x2

D y3 = d y3 × | y3 | £ 0,00054× 0,79 = 0,00042...

но D y3 = | cos x2 | × | x2 |,

откуда

Для x3 -

D x3 = d x3 × | x3 | £ 0,00054× 3,1 = 0,0016...

Итак, получили: D x1 £ 0,0014...;D x2 £ 0,00071...;D x3 £ 0,0016...; D x4 £ 0,00020...; откуда следует, что значения всех аргументов необходимо взять с четырьмя верными знаками.

Дата добавления: 2014-12-25