Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Метод простой итерации




 

Простейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации. Система уравнений (3.1) преобразуется к эквивалентному виду

. (3.40)

Метод простой итерации состоит в следующем. Выбирается произвольный вектор (начальное приближение) и строится итерационная последовательность векторов по формуле

(3.41)

Приведем теорему о достаточном условии сходимости метода простой итерации.

Если , то система уравнений (3.40) имеет единственное решение и итерационный процесс (3.41) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии.

Допустим, что - одно из решений системы (3.40), т.е. выполняется равенство

. (3.42)

Отсюда, используя третью аксиому нормы и неравенство (3.37), получим


и

или, поскольку ,

.

Из этого неравенства следует единственность решения однородной системы , т.е. при , а следовательно, существование и единственность решения системы (3.41) при любом свободном члене .

Вычтем из равенства (3.42) равенство (3.41). Получим

(3.43)

и, следовательно,

.

Отсюда на основании (3.37) имеем

,

т.е. норма разности между точным решением и -м приближением стремится к нулю при не медленнее геометрической прогрессии со знаменателем .

Оценим погрешность -го приближения. Преобразуем равенство (3.43) к виду

.

Согласно третьей аксиоме нормы и равенству (3.37)

,

откуда

. (3.44)

Кроме того, в силу (3.43) имеем

. (3.45)

Из (3.44) и (3.45) окончательно получаем

.

Приведем без доказательства теорему о необходимом и достаточном условии сходимости метода простой итерации.

Пусть система (3.40) имеет единственное решение. Итерационный процесс (3.41) сходится к решению системы (3.40) при любом начальном приближении тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы В по модулю меньше единицы.

Эта теорема дает более общие условия сходимости метода простой итерации, однако воспользоваться ею в общем случае непросто. В частном случае, когда матрица В симметрическая, можно воспользоваться изложенным в разделе 3.5 методом отыскания максимального по модулю собственного значения, чтобы проверить условия этой теоремы.

Некоторую модификацию метода простой итерации представляет собой метод Зейделя. Основная его идея заключается в том, что при вычислении - го приближения неизвестной используются уже вычисленные ранее - е приближения неизвестных :

.

Условия сходимости методов простой итерации и Зейделя не совпадают, но пересекаются. Обычно метод Зейделя сходится быстрее, чем метод простой итерации [4,5].

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-25; Просмотров: 557; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.