Решение тренировочных заданий. В качестве интерполяционного полинома выбираем полином Лагранжа, так как узлы интерполирования не являются равноотстоящими

Задание I.

В качестве интерполяционного полинома выбираем полином Лагранжа, так как узлы интерполирования не являются равноотстоящими.

Используя формулу (8), определяем множители Лагранжа:

, , ,

Замечание. Отметим свойство множителей Лагранжа: . Для того, чтобы найти значение функции с максимальной точностью, необходимо определить, с какой точностью следует брать значения функции в узлах, для этого определим погрешность метода, используя формулу (4):

.

Находим

,

.

Далее вычисляем минимально возможную полную погрешность результата; имеем:

.

Теперь осталось определить вычислительную погрешность:

;

учитывая формулу (9) и предполагая, что все значения функции имеют одинаковую точность , имеем:

.

То есть значения функции в узлах берем с 5 знаками после запятой.

Записав далее таблицу исходных значений с требуемой точностью, вычисляем конечный результат:

xi
f(xi)	3,74166	4,00000	4,35890	4,58258

Ответ: √15=3,87294 0,0001.

Задание II.

Так как значение y₁^*=2,000 расположено в начале таблицы, а y₂^*=5,000 - в конце ее, то для вычисления x₁^* следует использовать первый, а для вычисления x₂^* - второй интерполяционные полиномы Ньютона.

Дополним заданную таблицу значениями конечных разностей.

x_i y_i

0,50 1,732

0,548

0,75 2,280 0,172

0,720 0,056

1,00 3,000 0,228 0,016

0,948 0,072

1,25 3,948 0,300

1,248

1,50 5,196

Для определения x₁ имеем уравнение

,

а для определения x₂ -

где

Решая эти два уравнения, получим

Отсюда

Дата добавления: 2014-12-25