Решение тренировочных заданий. Дополним заданную таблицу значениями конечных разностей:

Задание I.

Дополним заданную таблицу значениями конечных разностей:

x_i y_i

0,50 1,732

0,548

0,75 2,280 0,172

0,720 0,056

1,00 3,000 0,228 0,016

0,948 0,072

1,25 3,948 0,300

1,248

1,50 5,196

Так как значение x^*₁=0,63 расположено в начале таблицы, а x^*₂=1,35 - в конце ее, то для вычисления значения f(x^*₁) следует использовать первый, а для вычисления значения f(x^*₂) - второй интерполяционные полиномы Ньютона.

Отметим, что конечная разность четвертого порядка приближенно равна своей погрешности. Поэтому функцию y=3^x с точки зрения вычислительной погрешности нецелесообразно аппроксимировать полиномом степени выше третьей, и, следуя формулам (22) и (24), имеем:

Вычислим значения t^*₁ и t^*₂.

Таким образом, получим:

Оценим погрешности по формулам (23) и (25):

Учитывая, что все приведенные знаки у функции y=3^x верны в широком смысле, имеем:

Поэтому вычислительные погрешности суть:

Округлим полученные результаты до четырех знаков.

Погрешности округления равны соответственно:

Суммируя погрешность метода, вычислительную погрешность и погрешность округления, получаем:

Заметим, что остаточные погрешности в данной задаче можно оценить с помощью конечных разностей. Для значения N₃^I(t₁^*) эта оценка имеет вид

а для значения N₃^II(t₂^*) -

.

Задание II.

Так как мы имеем достаточное количество узлов, меньших и больших x₁^* и x₂^* , то для вычисления f(x₁^*) и f(x₂^*) следует использовать интерполяционный полином Стирлинга или интерполяционный полином Бесселя, а в качестве центрального узла выбирать такой, чтобы выполнялось одно из соотношений (15) и (16). Далее, в зависимости от того, какое из двух условий выполняется, применить соответственно формулу Стирлинга или Бесселя.

В нашей задаче для вычисления f(0,85) в качестве центрального узла выберем и воспользуемся формулой Бесселя, а для вычисления f(0,98) в качестве центрального узла выберем и воспользуемся формулой Стирлинга.

Составим таблицу конечных разностей, обращая внимание на то, что если абсолютная погрешность значения y_i есть 0,5∙10^-4, то абсолютная погрешность конечных разностей порядка m есть 0,5∙10^-4∙2^m.

x_i y_i

0,6 1,8221

0,1917

0,7 2,0138 0,0200

0,2117 0,0024

0,8 2,2255 0,0224 -0,0002

0,2341 0,0022

0,9 2,4596 0,0246 0,0004

0,2587 0,0026

1,0 2,7183 0,0272 0,0002

0,2859 0,0028

1,1 3,0042 0,0300

0,3159

1,2 3,3201

0,00005 0,0001 0,0002 0,0004 0,0008

Погрешность конечных разностей четвертого порядка больше абсолютных величин значений самих этих разностей, а это означает, что с точки зрения вычислительной погрешности функцию нецелесообразно аппроксимировать полиномом степени выше третьей.

Таким образом, так как полином Бесселя строится по четному числу узлов и является полиномом нечетной степени, а полином Стирлинга строится по нечетному числу узлов и является полиномом четной степени, то для вычисления f(x₁^*) построим полином Бесселя третьей степени, а для вычисления f(x₂^*) - полином Стирлинга второй степени.

Следуя формулам (20) и (17) и учитывая, что в формуле (20) будут отсутствовать слагаемые, содержащие множитель (t-1/2),так как t₁^*=1/2, получим:

Оценим погрешности полученных результатов.

Погрешности метода равны соответственно

а вычислительные погрешности -

Округлим результаты до шести знаков.

Суммируя для каждого результата погрешность метода, вычислительную погрешность и погрешность округления, получим

ƒ

Задание III.

Функция f(x) монотонна на отрезке [10;20], следовательно, существует обратная функция x=g(y). Построим для нее интерполяционный полином L₃(y) и вычислим L₃(10).

Дата добавления: 2014-12-25