Метод Эйлера-Коши

Естественно, что для получения более точной, чем формула Эйлера, формулы нужно точнее аппроксимировать интеграл в правой части выражения (14).

Так, воспользовавшись для вычисления интеграла формулой трапеций, получаем

(18)

Отбрасывая член порядка , получаем расчетную формулу:

(19)

В общем случае уравнение (19) явно неразрешимо относительно , поэтому необходимо произвести следующие преобразования. Заменим , входящее в правую часть выражения (18), на значение , вычисляемое по формуле Эйлера.

или (20)

Тогда правая часть выражения (18) изменяется на величину

(21)

, где находится между и .

Вследствие предположения (20) - = , следовательно, величина (21) имеет порядок .

Выражения (19) и (20) определяют пару расчетных формул метода Эйлера-Коши, имеющих на одном шаге погрешность .

(22)

Погрешность метода Эйлера-Коши также можно оценивать методом двойного просчета по формуле:

(23)

Пример 4. Методом Эйлера-Коши построить таблицу решений уравнения из примера 3 с шагом h =0,2.

Сравнить результаты с результатами примера 3 и с точным решением.

Решение. Результаты вычислений по формулам (22) приведены в таблице 2.

Таблица 2.

0,0   0,2   0,4   0,6   0,8   1,0	1,0000   1,0400   1,1714   1,4282   1,8830   2,6814	0,0000   0,416   0,9371   1,7138   3,0128	0,0000   0,0832   0,1874   0,3428   0,6026	1,0000   1,1232   1,3588   1,7710   2,4856	0,4000   0,8986   1,6306   2,8336   4,9712	0,0800   0,1797   0,3261   0,5667   0,9942	0,0400   0,1314   0,2568   0,4548   0,7984	1,0000   1,0408   1,1735   1,4333   1,8965   2,7183	1,1600   1,8356

Заполнение таблицы производится следующим образом. В первой строке записываем =0; =1.0000, затем находим =0. По первой из формул (22) вычисляем и запишем значение в (4) столбец. Затем в пятый столбец второй строки ( =0,2) заносят; ; находят , умножают на h =0,2:0,2*0,4000=0,0800. Далее находят полусумму значений (4) и (7) столбцов и помещают ее в 8-й столбец:

+ = =(0,0000+0,0800)/2=0,0400,

вычисляют Y1=1,0000+0,0400 и записывают во второй столбец второй строки. Аналогично заполняют остальные строки таблицы. Оцениваем погрешность результата.

В десятом столбце приведены результаты расчета с двойным шагом h=0,1. На основании приближенной формулы (23) имеем для точки X=0,8

= ½1,8830-1,8356½/3=0,0474/3<0,016.

Сравнение полученных результатов с точным решением, приведенным в столбце (9), дает величину истинной погрешности в точке Х=0,8

=1,8965-1,8830=0,013,

что практически совпадает с оценкой, полученной по приближенной формуле, в точке Х=1,0

=2,7183-2,6814<0,04.

Приближенное решение в точке Х=1,0, полученное методом Эйлера, имело погрешность 0,4,хотя вычисления велись с шагом в два раза меньшим (h=0,1).

Дата добавления: 2014-12-25