Решение. 3 страница

Найдем вспомогательные величины:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Для вычисления суммы составим таблицу

	(-3 -4)
	(-6 -6)	(-4 -6)	(-1 -3)
		(-8 -8)	(-3 -6)	(0 -4)
		(-2 -1)	(-6 -6)	(0 -11)	(4 -4)
			(-5 0)	(0 0)	(15 0)
				(0 4)	(7 7)	(12 6)
					(5 10)	(8 8)
					(1 3)	(4 6)	(9 9)
						(2 4)	(6 8)

Тогда

Найдем уравнения регрессий: ;

или ;

; или

. Для построения диаграммы рассеивания найдем групповые средние: ; ;

; ;

;

; ; ;

; ;

; ;

; ;

; .

Изобразим диаграмму рассеивания (точки) и графики уравнений регрессии.

Задача 37. Найти максимальное значение линейной функции при ограничениях

Решение. Построим многоугольник решений. Для этого в системе координат на плоскости изобразим граничные прямые

Взяв какую-нибудь, например, начало координат, установим, какую полуплоскость определяет соответствующее неравенство (эти полуплоскости на рисунке показаны стрелками). Многоугольником решений данной задачи является ограниченный пятиугольник ОАВСD.

Для построения прямой строим радиус-вектор = (50;40)=10 (5;4) и через точку О проводим прямую, перпендикулярную ему. Построенную прямую Z=0 перемещаем параллельно самой себе в направлении вектора . Из рис. 1.3 следует, что опорной по отношению к многоугольнику решении эта прямая становится в точке С, где функция Z принимает максимальное значение. Точка С лежит на пересечении прямых . Для определения её координат решим систему уравнении

Оптимальный план задачи: Подставляя значения в линейную функцию, получаем

8

А

4

0 D 5

Таким образом, для того чтобы получить максимальную прибыль в размере 260,3 руб., необходимо запланировать производство 3,9 ед. продукции и 1,7 ед. продукции

Задача 38. Для изготовления различных изделий А, В и С пред­приятие использует три различных вида сырья. При этом на изготовление единицы изделия вида А расходуется 18 кг материала первого вида, 6 кг материала второго вида и 5 кг материала третьего вида. На изготовление единицы изделия вида расходуется 15 кг материала первого вида, 4 кг материала второго вида, 3 кг материала третьего вида. На изготовление единицы изделия вида C расходуется 12 кг материала первого вида, 8 кг материала второго вида, 3 кг материала третьего вида. На складе фабрики имеется всего материала первого вида 360 кг, материала второго вида 192 кг, материала третьего вида 180 кг. От реализации единицы готовой продукции вида А фабрика имеет прибыль 9 руб., продукции вида В прибыль составляет 10 руб., продукции вида С прибыль составляет 16 руб.

Определить максимальную прибыль от реализации всей продукции видов А, В и С. Решить задачу симплекс-методом.

Решение. Запишем данные задачи в таблицу.

Вид сырья	Нормы затрат сырья (кг) на одно изделие вида	Общее количество сырья (кг)
А	В	С
I
II
III
Прибыль от реализации единицы продукции

Составим математическую модель задачи. Введем новые переменные:

количество выпускаемых изделий вида А;

количество выпускаемых изделий вида В;

количество выпускаемых изделий вида С.

Так как на 1 изделие вида А предприятие расходует 18 кг сырья первого вида, то на производство общего количества продукции вида А предприятию потребуется кг того же материала. Соответственно для производства всей продукции вида В и С предприятию потребуется кг и сырья первого вида соответственно. Поскольку расходы на производство не должны превышать общего количества сырья имеющегося на складе, то при изготовлении единиц изделий вида А, единиц изделий вида В и единиц изделий вида С должно быть израсходовано не более 360 кг сырья первого вида. Таким образом, все выше сказанное можем записать в виде неравенства:

Аналогично, при затратах, на производство продукции вида А, В и С, сырья второго и третьего сорта предприятие должно учитывать количество данного сырья, имеющегося на складе. Т.е. необходимо выполнение следующих неравенств:

При этом так как количество изготовляемых изделий не может быть отрицательным, то

Далее, если будет изготовлено единиц изделий вида А, единиц изделий вида В и единиц изделий вида С, то прибыль от их реализации составит

Таким образом, приходим к следующей математической задаче:

(1)

(2)

среди всех неотрицательных решений системы нера­венств (2) требуется найти такое, при котором функция (1) принимает максимальное значение.

Запишем эту задачу в форме основной задачи линейного программирования. Для этого перейдем от ограничений-нера­венств к ограничениям-равенствам. Введем три дополнительные переменные, в результате чего ограничения запишутся в виде системы уравнений

Эти дополнительные переменные означают не используемое при данном плане производства количество сырья того или иного сорта (например, - неиспользуемое количество материала I вида).

Преобразованную систему уравнений запишем в векторной форме:

где ; ; ; ; ; .

Поскольку среди векторов имеются три единичных вектора, для данной задачи можно непосредственно записать опорный план. Таковым является план Х=(0; 0; 0; 360; 192; 180), определяемый системой трехмерных единичных векторов , которые образуют базис трехмерного век­торного пространства.

Составляем симплексную таблицу для I итерации (табл. 1.1). В столбец записываем коэффициенты при базисных векторах в целевой функции. Коэффициенты 4-й строки вычисляются по формулам: и проверяем исходный опорный план на оптимальность:

Таблица 1.1

	Базис
			360
				-9	-10	-16

Как видно из табл. 1.1, значения всех основных переменных равны нулю, а дополнительные переменные принимают свои значения в соответствии с ограничениями задачи. Эти значения переменных отвечают такому «плану», при котором ничего не производится, сырье не используется и значение це­левой функции равно нулю (т. е. стоимость произведенной про­дукции отсутствует). Этот план, конечно, не является оптималь­ным.

Это видно и из 4-й строки табл. 1.1, так как в ней имеется три отрицательных числа: . Отрицательные числа не только свидетельствуют о воз­можности увеличения общей стоимости производимой продук­ции, но и показывают, на сколько увеличится эта сумма при введении в план единицы того или другого вида продукции. Так, число -9 означает, что при включении в план произ­водства одного изделия А обеспечивается увеличение выпуска продукции на 9 руб. Если включить в план производства по од­ному изделию В и С, то общая стоимость изготовляемой про­дукции возрастет соответственно на 10 и 16 руб. Поэтому с экономической точки зрения наиболее целесообразным является включение в план производства изделий С. Это же необходимо сделать и на основании формального признака симплексного метода, поскольку максимальное по абсолютной величине отри­цательное число стоит в 4-й строке столбца вектора Р₃. Сле­довательно, в базис введем вектор . Определяем вектор, под­лежащий исключению из базиса. Для этого находим для т.е.

Дата добавления: 2014-12-26