Границя функції в точці. Односторонні границі

Границя функції в точці

Нехай функція визначена в деякому околу точки , крім, можливо, самої точки .

Сформулюємо два, еквівалентних між собою, означення границі функції в точці.

Означення 1. (на «мові послідовностей», або по Гейне). Число А називається границею функції в точці (або при ), якщо для будь-якої послідовності допустимих значень аргументу , (), що збігається до (тобто ), послідовність відповідних значень функції , , збігається до числа А.

В цьому випадку пишуть або при . Геометрично значення границі функції: означає, що для всіх точок х, достатньо близьких до точки , відповідні значення функції як завгодно мало відрізняються від числа А.

Означення 2 (на « мові e-d», або по Коші). Число А називається границею функції в точці (або при ), якщо для будь-якого додатного e знайдеться таке додатне число d, що для всіх , задовольняючих нерівності , виконується нерівність .

Записують .

Приклад 16.1 Довести, що

○ Візьмемо довільне , знайдемо таке, що для всіх х, задовольняючих нерівності , виконується нерівність , тобто | x-3|< . Узявши d= , бачимо, що для всіх х, задовольняючих нерівності ), виконується нерівність . Отже ○

Приклад 16.2. Довести, що, якщо , то .

○ Для можна узяти . Тоді при , маємо

. Отже .●

Дата добавления: 2014-12-26