Невласні інтеграли ІІ-го роду

Нехай функція неперервна на проміжку і має нескінченний розрив при . Якщо існує скінчена границя , то її називають невласним інтегралом другого роду і позначають .

Таким чином, за означенням

.

Якщо границя в правій частині існує, то невласний інтеграл збіжний. Якщо ж вказана границя не існує або нескінченна, то говорять, що інтеграл розбіжний.

Аналогічно, якщо функція має нескінченний розрив в точці , то вважають .

Якщо функція має розрив у внутрішній точці відрізка , то невласний інтеграл другого роду визначається формулою .

В цьому випадку інтеграл зліва називають тим, що збіжний, якщо обидва невласні інтеграли, що стоять справа, сходяться.

У разі, коли , невласний інтеграл другого роду (розрив в точці ) можна використовувати геометрично як площу нескінченно високої криволінійної трапеції (див. рис. 173).

(рис.173)

Приклад 9.6.4. Обчислити .

○ При функція має нескінченний розрив;

, інтеграл розбіжний.

Сформулюємо ознаки для невласних інтегралів другого роду.

Теорема 9.6.3. Нехай на проміжку функції і неперервні при мають нескінченний розрив і задовольняють умову .

Із збіжності інтеграла витікає збіжність інтеграла , а з розбіжності інтеграла витікає розбіжність інтеграла .

Теорема 9.6.4. Нехай функції і неперервні на проміжку і в точці мають розрив. Якщо існує границя , то інтеграли і одночасно сходяться або розходяться.

Приклад 9.6.5. Чи збіжний інтеграл

○ Функція має на єдиний розрив в точці . Розглянемо функцію . Інтеграл розбіжний. І оскільки , то інтеграл також розбіжний.

Дата добавления: 2014-12-26