Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Методические рекомендации. Вопросы, выносимые на обсуждение




Вопросы, выносимые на обсуждение

Практическое занятие № 7

Тема занятия « Линейный оператор и его матрица. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора »

Цель занятия: Формированиепонятий линейного оператора, собственных векторов и собственных значений линейного оператора; овладение методами проверки операторов на линейность; формирование умений находить матрицу линейного оператора, собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Организационная форма занятия: практикум - тренинг.

Компетенции, формируемые на занятии: ОК-1, ПК-2.

Формирование на занятии у будущих специалистов этих компетенций предполагает обучение студентов

- анализировать ситуации и делать выводы;

- абстрагировать содержание и выделять существенное;

- применение основных понятий, идей и методов математики для решения базовых задач предметной области.

1. Определение линейного оператора.

2. Матрица линейного оператора.

3. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Для подготовки дома к занятию

1. Прочитайте конспект лекции, соответствующий теме занятия. Запомните основные определения.

2. Изучите рекомендуемую литературу по вопросам, выносимым на обсуждение.

3. Найдите ответы на теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями. Подготовьтесь к ответам на эти вопросы на занятии.

4. Законспектируйте ответы на теоретические задания, которые не содержатся в Вашем конспекте лекции по указанной теме.

5. Изучите разобранные примеры решения типовых задач и законспектируйте их решение в рабочую тетрадь.

6. Подготовьтесь к самостоятельной работе №4 по теме «Линейный оператор». Примерный вариант Вы можете найти в программе дисциплины.

На занятии по указанию преподавателя

1. Дайте ответы на вопросы из теоретических заданий для развития и контроля владения компетенциями.

2. В рабочей тетради и на доске решите практические задания для развития и контроля владения компетенциями из заданий, решаемых в аудитории.

3. На занятии решите предложенный преподавателем вариант самостоятельной работы №4.

Дома закрепите полученные практические умения и навыки, решая практические задания для развития и контроля владения компетенциями из заданий для самостоятельной работы дома.

Рекомендуемая литература

[2] часть 1 глава 5 § 4.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

1. Проверьте, что заданный в пространстве Т3 оператор

j(x)= [a1 - a2, a3 , a2 +2a3] "х=[a1, a2, a3 ] ÎT3 является линейным. Найти матрицу этого оператора в базисе е1=[1,0,1], е2=[1,-1,1], е3=[0,1,1].

Решение. Проверим условия (17.1) и (17.2):

"х=[a1, a2, a3 ] ÎT3 и "y=[b1, b2, b3 ] ÎT3 : x+y=[a1+b1, a2+b2, a3+b3],

тогда

j(x+y)=[(a1+b1)-(a2+b2),a3+b3,(a2+b2)+2(a3+b3)]=

=[(a1-a2)+(b1-b2), a3+b3,(a2+2a3)+(b2+2b3)]=

=[ a1-a2, a3, a2+2a3]+ [b1-b2 b3, b2+2b3]= j(x)+ j(y).

"х=[a1, a2, a3 ] ÎT3 и "lÎP: l x = [la1, la2, la3 ].

Тогда j(lx)= [la1-la2, l a3, la2+2la3]= lj(x).

Следовательно, данный оператор является линейным.

Найдём образы базисных векторов:

j(е1)=[1-0, 1, 0+2]=[1,1,2],

j(е2)=[1+1, 1,-1+2]=[2,1,1],

j(е3)=[0-1, 1, 1+2]=[-1,1,3].

Разлагаем образы базисных векторов по векторам базиса:

j(е1)=[1,1,2]=a11[1,0,1]+a12[1,-1,1]+a13[0,1,1],

j(е2)=[2,1,1]= a21[1,0,1]+a22[1,-1,1]+a23[0,1,1],

j(е3)=[-1,1,3]= a31[1,0,1]+a32[1,-1,1]+a33[0,1,1].

Для определения элементов матрицы линейного оператора получаем системы:

С учетом, что матрица из коэффициентов при неизвестных во всех полученных системах одинаковая, эти системы лучше решать матричным способом.

Запишем системы в матричной форме:

= , = , = ,

откуда

, , .

 

Находим обратную матрицу:

~ ~ ~

~ .

Таким образом, для , .

Тогда

= = = ,

= = = ,

= = = .

Таким образом, данный оператор в указанном базисе имеет матрицу:

.

2. Линейный оператор j задан матрицей

Найдите собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Решение. Составляем характеристическое уравнение:

=0,

-l(1-l)-2=0,

l2-l-2=0,

отсюда l1=2, l2=1 – собственные значения линейного оператора.

Находим собственные векторы.

Для собственного значения l1=2 получаем:

(b1 b2) =Q, (b1 b2) =Q,

, .

Таким образом, – собственный вектор, принадлежащий собственному значению l1=2, где - любое действительное число.

Для собственного значения l2= -1 получаем:

(b1 b2) =Q, (b1 b2) =Q,

, .

Тогда – собственный вектор, принадлежащий собственному значению l2=-1, где - любое действительное число.

Теоретические задания

для развития и контроля владения компетенциями

1. Дайте определение линейного оператора.

2. Какие условия необходимо проверить, чтобы доказать линейность оператора?

3. Введите понятие матрицы линейного оператора.

4. Зависит ли матрица линейного оператора от выбора базиса?

5. Каким методом удобнее решать системы линейных уравнений для нахождения матрицы линейного оператора?

6. Введите понятия собственного вектора и собственного значения линейного оператора.

7. Запишите, как выглядит характеристическое уравнение для нахождения собственных значений линейного оператора?

8. Как найти собственные векторы линейного оператора?

Практические задания




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-26; Просмотров: 343; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.028 сек.