Решение. · Найдем критические точки функции, лежащие внутри отрезка :

· Найдем критические точки функции, лежащие внутри отрезка :

не существует при , но

Таким образом, данная функция имеет одну критическую точку , и эта точка лежит внутри отрезка .

· Вычислим значение функции в критической точке и на концах отрезка :

.

· Сравнивая все вычисленные значения, выбираем наибольшее и наименьшее:

.

4. Одна сторона прямоугольного участка земли примыкает к берегу канала, а три другие огораживаются забором. Каковы должны быть размеры этого участка, чтобы его площадь равнялась , а длина забора была наименьшей?

Решение. Для решения такой задачи следует, исходя из ее условия, выбрать переменную и выразить исследуемую величину через эту переменную, а затем найти искомое наименьшее значение полученной функции.

Пусть ширина участка - м, длина - м, длина забора м. Выберем за независимую переменную - ширину участка. Так как площадь участка , т.е. , то отсюда . Выразим , как функция от : , где

канал

Найдем наименьшее значение на интервале . Найдем критические точки:

в точках и , но только и других критических точек в этом интервале нет, т.к. ее производная существует во всем этом интервале. Исследуем найденную критическую точку по знаку второй производной в этой точке:

отсюда следует, что критическая точка есть точка минимума.

Функция непрерывна в интервале . Поэтому по свойству непрерывных функций единственный минимум функции в интервале совпадает с ее наименьшим значением в этом интервале, т.е.

Следовательно, длина забора будет наименьшей при ширине участка и длине участка .

5. Найдите точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости функции

Решение. 1. Ищем точки , в которых или не существует, и которые лежат в области определения функции:

ни при каких ; не существует при

2. Исследуем точку на перегиб, определяя знак слева и справа от нее. Запишем это исследование в таблицу:

	+		-
		перегиб

Таким образом, - абсцисса точки перегиба кривой: Эта кривая в интервале вогнута, а в интервале - выпукла.

6. Найдите асимптоты следующих функций:

а) б)

Решение. а) Область определения данной функции: Отсюда следует, что - вертикальная асимптота, т.к.

и .

Наклонные (невертикальные) асимптоты определяем из условий:

где и

Таким образом, - наклонная асимптота.

б) , следовательно, - вертикальная асимптота, так как

,

Следовательно, - наклонная асимптота.

7. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Дата добавления: 2014-12-26