Методические рекомендации. Вопросы, выносимые на обсуждение

Вопросы, выносимые на обсуждение

Практическое занятие № 43

Тема занятия « Ряды Фурье. Ряды Фурье для четных и нечетных периодических функций »

Цель занятия: Показать возможность разложения функций в ряд Фурье.

Организационная форма занятия: практикум с применением интерактивной доски.

Компетенции, формируемые на занятии:

- способность и готовность анализировать социально-значимые проблемы и процессы, использовать на практике методы гуманитарных, естественнонаучных, медико-биологических, и клинических наук в различных видах профессиональной и социальной деятельности (ОК-1);

- способностью и готовностью к анализу медицинской информации при помощи системного подхода, к восприятию инноваций в целях совершенствования своей профессиональной деятельности, к использованию полученных теоретических, методических знаний и умений по фундаментальным естественнонаучным, медико-биологическим, клиническим и специальным (в том числе биохимическим) дисциплинам, в научно-исследовательской, лечебно-диагностической, педагогической и других видах работ (ПК-2, частично: формируется способность использовать методы математического анализа в научно-исследовательской деятельности).

Формирование у будущих специалистов этих компетенций на занятии предполагает обучение студентов

- сформулировать гипотезу и проверить ее в дальнейшем;

- анализировать ситуации и делать выводы;

- ставить новые вопросы и видеть проблемы в традиционных ситуациях;

- абстрагировать содержание и выделять существенное;

- применение численных методов решения базовых математических задач в практической деятельности.

1. Определение тригонометрического ряда и его сходимости.

2. Вычисление коэффициентов ряда Фурье.

3. Ряды Фурье для четных периодических функций.

4. Ряды Фурье для нечетных периодических функций.

Для подготовки к занятию дома

1. Прочитайте конспект лекции, соответствующий теме занятия. Запомните основные определения.

2. Изучите рекомендуемую литературу по вопросам, выносимым на обсуждение.

3. Найдите ответы на теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями. Подготовьтесь к ответам на эти вопросы на занятии.

4. Законспектируйте ответы на теоретические задания, которые не содержатся в Вашем конспекте лекции по указанной теме.

5. Изучите разобранные примеры решения типовых задач и законспектируйте их решение в рабочую тетрадь.

На занятии по указанию преподавателя

1. Дайте ответы на вопросы из теоретических заданий для развития и контроля владения компетенциями.

2. В рабочей тетради и на доске решите практические задания для развития и контроля владения компетенциями из заданий, решаемых в аудитории.

3. Разберите с преподавателем вопросы, которые остались Вами не понятыми по теме этого занятия.

Дома

1. Закрепите полученные практические умения и навыки, решая практические задания для развития и контроля владения компетенциями из заданий для самостоятельной работы дома.

2. Закончите выполнение ИДЗ № 9 по теме «Ряды», решив задание 2 (Разложить функцию в ряд Фурье в интервале ). Условие ИДЗ помещено в заданиях для самостоятельной работы дома к занятию № 41. Сдайте выполненное полностью ИДЗ на проверку преподавателю на следующем занятии.

3. Подготовьтесь к коллоквиуму №3 по темам «Интегральное исчисление функции одной переменной. Ряды». Вопросы к коллоквиуму приведены в конце занятия. Сдайте коллоквиум в назначенное преподавателем время контроля самостоятельной работы студентов. Рекомендуется для самоконтроля пройти репетиционное тестирование по указанным темам, согласовав время с преподавателем.

Рекомендуемая литература

[1] глава 10 пп 10.4.

[2] часть 2, глава III § 8.

[3] глава 5 § 23.

[6] глава 14 § 7.

[7] глава XIV § 7.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

a. Разложите в ряд Фурье функцию при .

Решение. Так как функция нечетная, то , ,

.

Таким образом, получили разложение функции .

2. Разложите в ряд Фурье периодическую функцию с периодом , заданную в интервале .

Решение. Графиком этой функции в интервале является отрезок, соединяющий точки и .

Определяем коэффициенты ряда Фурье. Сначала находим

Второй интеграл равен нулю как от нечетной функции, взятый по интервалу, симметричному относительно начала координат. Таким образом,

Далее, находим коэффициенты .

Имеем

Нетрудно видеть, что оба интеграла равны нулю (подынтегральная функция второго интеграла является нечетной как произведение четной функции на нечетную). Итак, , т.е.

Найдем теперь коэффициенты :

Первый интеграл равен нулю. Подынтегральная функция второго интеграла – четная как произведение двух нечетных функций. Таким образом,

Интегрируя по частям, получим , , , , т.е.

Следовательно, разложение функции в ряд Фурье имеет вид

3. Разложите в ряд Фурье периодическую функцию с периодом 2, заданную на сегменте уравнением .

Решение. Рассматриваемая функция является четной. Ее график – дуга параболы, заключенная между точками и . Так как , то

Здесь нужно дважды проинтегрировать по частям:

1) , , , ;

2) , , ,

Так как рассматриваемая функция – четная, то . Следовательно,

4. Разложите ряд Фурье периодическую функцию с периодом , заданную на сегменте следующим образом:

Решение. Находим

;

К первому интегралу применяем интегрирование по частям:

, , , ;

Откуда

Определяем коэффициенты :

К первому интегралу применяем интегрирование по частям:

, , , .

Имеем

.

Если , то , ;

, , ; , , ; , , ; , , .

Следовательно, получаем разложение

.

Теоретические задания

Дата добавления: 2014-12-26