КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Коэффициент корреляции
В рассмотренном примере корреляционной связи оба коэффициента регрессии и положительны. В таком случае корреляцию называют положительной, что имеет место при изменении изучаемых количественных признаков в одинаковом направлении (х и у одновременно возрастают или одновременно убывают). Прямые при положительных коэффициентах регрессии образуют острые углы с соответствующими осями координат (рис. 14) — у прямой регрессии у по х коэффициент регрессии , где a — острый угол, образованный прямой I с осью Ох, а у прямой регрессии х по y коэффициент регрессии , где b — острый угол, образованный прямой II с осью Оу. При отрицательных коэффициентах регрессии прямые регрессии образуют с соответствующими осями тупые углы. Для большей наглядности на рис. 14 показано положение прямых регрессии относительно новой системы координат с началом в точке пересечения этих прямых. Рис. 14 Сами по себе значения коэффициентов регрессии не позволяют судить о тесноте связи между х и у. Это зависит от величины угла, образованного прямыми регрессии. Чем меньше этот угол, тел; теснее корреляционная связь между х и у. При слиянии этих двух прямых в одну имеет место линейная функциональная зависимость между х и у. В качестве меры тесноты линейной корреляционной связи принимается коэффициент корреляции со знаком, совпадающим со знаками коэффициентов регрессии. При этом, если прямые I и II совпадают, то и . Но тогда и, следовательно, . Обращение коэффициента корреляции в 1 или в -1 является, как это можно доказать, необходимым и достаточным признаком. линейной функциональной зависимости между х и у. Корреляционная таблица в таких случаях состоит из расположенных лишь на одной диагонали частот значений х и у.
Вместе с тем, когда, по крайней мере, один из углов a или b равен нулю, то и , а значит, и между рассматриваемыми величинами не существует ни функциональной, ни корреляционной линейной зависимости. Однако в этом случае между х и у возможны нелинейные корреляционные и даже функциональные связи. Корреляционная зависимость между х и у (для положительных коэффициентов регрессии) имеет место, когда коэффициент корреляции, как это можно доказать, выражается правильной дробью (0 < r < 1). При этом связь между переменными тем теснее, чем ближе коэффициент корреляции к 1. Введенное определение коэффициента корреляции в виде позволяет на основании выражений коэффициентов регрессии получить удобную формулу для непосредственного вычисления коэффициента корреляции. Если обратиться к выражениям коэффициентов прямых регрессии и , то можно заметить, что знаменатели в обоих выражениях обозначают дисперсии соответствующих рядов распределений: и . Отсюда можно получить для коэффициента корреляции формулу , которая сразу показывает, что между независимыми величинами корреляции не существует, так как для таких величин выполняется равенство . Замечание. Последнее равенство является приближенным, а поэтому если коэффициент корреляции очень мал , считают, что линейной корреляции между х и у нет. Записанная выше формула позволяет выразить каждый коэффициент регрессии через коэффициент корреляции. Так, коэффициент регрессии у по x , а коэффициент регрессии х по у . Такие выражения коэффициентов регрессии показывают, что составление уравнений прямых регрессии может быть облегчено, если будет найдено значение коэффициента корреляции. Для его вычисления следует использовать выражения числителя и знаменателя: . Тогда можно вычислить коэффициент корреляции по формуле
. Пример 1. В табл. 6 дана группировка 135 сахаропесочных заводов по размеру производственных основных средств в млн. руб. (х) и по среднесуточной переработке свеклы в тыс. ц (у). Требуется определить коэффициент корреляции и составить уравнения регрессии. Таблица 6
Расположение рядов распределения значений у в табл. 6 позволяет наметить линейную корреляционную связь между х и у. Для отыскания коэффициента корреляции составим вспомогательную таблицу.
Таблица 7
Следует пояснить, что вторые множители в четвертом столбце получены из данных табл. 6 суммированием произведений каждого числа внутренней строки на соответствующее значение у (например, 114=4×4+6×5+9×6+2×7; 171= 4×5+6×6+7×7+8×7+1×10). Так как суммирование этих вторых множителей дает сумму всех значений у, то сумма , и это равенство подтверждает правильность подсчета суммы всех значений у. Аналогична структура вторых множителей в последнем столбце. Например, 28 = 4×1,75+5×2,25+3×3,25. Здесь суммирование вторых множителей дает сумму всех значений х, а потому равенство служит для подтверждения правильности подсчета. Вместе с тем итоговые суммы по четвертому и последнему столбцам являются в то же время суммами всех участвующих в таблице парных произведений ху. Отсюда . По данным подсчетов имеем: Отсюда и и коэффициент корреляции . Для составления уравнений прямых регрессии определяем коэффициенты регрессии:
Таким образом, уравнение прямой регрессии у по х или а уравнение прямой регрессии х по у или Сравнение коэффициента корреляции в этом примере с коэффициентом корреляции в ранее рассмотренном примере распределения растений житняка показывает на большую тесноту связи между, общим весом и весом семян. Это согласуется со структурой соответствующих корреляционных таблиц. Табл. 1 распределения растений житняка характерна четким смещением рядов распределения значений у при малой степени рассеяния этих значений, а табл. 6 по сахаропесочным заводам дает малозаметное смещение рядов распределения значений у при значительной степени рассеяния этих значений.
Дата добавления: 2014-12-26; Просмотров: 436; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |