Бесконечно малые и бесконечно большие функции. 3 страница

а) «–» в ; в) «» в , ;

б) «·» в ; г) «» в ;

д) пересечение множеств во множестве всех множеств.

11.11. Является ли группой данной пара

а) , где ;

б) , где .

11.12. Образует ли множество , где подгруппу группы , где .

11.13. Образует ли следующие множества подгруппу группы , где :

а) ; б) ; в) .

11.14. Доказать, что данная тройка является кольцом , где

. Какими свойствами оно обладает?

11.15. Какие из следующих множеств образуют подкольцо кольца , где :

а) ; б) .

11.16. Доказать, что , где поле.

11.17. Какие из следующих множеств образуют подполе поля, , где :

а) ;

б) ;

в) .

Практическое занятие № 12 (2 часа).

Тема: Поле комплексных чисел.

1. Комплексное число. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

2. Операции над комплексными числами.

3. Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

4. Корни натуральной степени из комплексных чисел.

Методические рекомендации к занятию. Изучение данной темы требует от студента знания определения комплексного числа, операций над комплексными числами, свойств этих операций. Необходимо уметь представлять комплексное число в тригонометрической форме, извлекать корни натуральной степени из комплексных чисел. В настоящее время комплексные числа широко используются в математике, физике и технике, их применение часто упрощает решение самых разных задач.

Контрольные вопросы

1. Что называется комплексным числом? Как обозначается множество всех комплексных чисел?

2. Какое число называется мнимой единицей?

3. Что называется действительной частью комплексного числа?

4. Что называется мнимой частью комплексного числа?

5. Как геометрически интерпретируются комплексные числа?

6. Как определяется равенство двух комплексных чисел?

7. Какие числа называются сопряженными комплексными числами?

8. Что называется суммой двух комплексных чисел?

9. Что называется произведением двух комплексных чисел?

10. Какими свойствами обладают сложение и умножение комплексных чисел?

11. Что называется модулем комплексного числа?

12. Какой вид имеет тригонометрическая форма комплексного числа?

13. Что называется аргументом комплексного числа?

14. Однозначно ли определяется аргумент комплексного числа? Что называется главным аргументом?

15. Как выполняется умножение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме?

16. Как выполняется деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме?

17. Что называется корнем натуральной степени из комплексного числа?

18. Сколько значений принимает корень натуральной степени из отличного от нуля комплексного числа?

19. Какой формулой задаются корни натуральной степени из отличного от нуля комплексного числа?

Практические задания, выполняемые на занятии

12.1. Выполните действия:

а) ;

б) ;

в) .

12.2. Найти модуль и аргумент комплексного числа:

а) ;

б) .

12.3. Представить в тригонометрической форме комплексное число:

а) ;

б) ;

в) .

12.4. Какие множества точек плоскости задаются условиями:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

Построить соответствующие линии и области.

12.5. Выполнить действия над комплексными числами, представив их в тригонометрической форме:

а) , . Найти , .

б) ;

в) .

12.6. Извлечь корень:

а) ;

б) ;

в) .

12.7. Решить уравнение

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Задания для самостоятельной работы

12.8. Выполните действия:

а) ;

б) ;

в) .

12.9. Представить в тригонометрической форме комплексное число:

а) ; б) ; в) .

12.10. Какие множества точек плоскости задаются условиями:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

д) ;

е) .

Построить соответствующие линии и области.

12.11. Выполнить действия над комплексными числами, представив их в тригонометрической форме:

а) ;

б) ;

в) .

12.12. Извлечь корень:

а) ; б) ; в) .

12.13. Решить уравнение

а) ; в) ;

б) ; г) .

Практическое занятие № 13 (2 часа).

Тема: Метрическое пространство.

План:

1. Понятие метрического пространства.

2. Нормированные пространства.

3. Пространства со скалярным произведением.

Методические рекомендации к занятию. Изучение этой темы позволит студентам получить представление об общем подходе к различным разделам математики. Исходным в этом подходе является понятие метрического пространства.

Контрольные вопросы

1. Что называется метрикой?

2. Что называется метрическим пространством?

3. Что называется открытым шаром в метрическом пространстве?

4. Что называется замкнутым шаром в метрическом пространстве?

5. Что называется сферой в метрическом пространстве?

6. Когда множество из метрического пространства называется ограниченным?

7. Что называется нормой?

8. Какое пространство называется нормарованным?

9. Как определяется скалярное произведение в пространстве над полем действительных чисел?

Практические задания, выполняемые на занятии

13.1. Определить, задает ли метрику на числовой прямой функция , если:

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

13.2. Образует ли метрическое пространство множество точек плоскости, если расстояние между точками и определить по формуле:

1) ;

2) ;

3) .

13.3. Является ли ограниченным метрическим пространством числовая ось R с метрикой:

а) ; б) ; в) .

13.4. Проверить, задают ли норму вектора следующие формулы:

1) ; 2) ; 3) .

13.5. Задают ли скалярное произведение на числовой прямой следующие формулы:

1) ;

2)

3) ;

4) ;

5) .

Задания для самостоятельной работы

13.6. Определить, задает ли метрику на числовой прямой функция , если:

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

13.7. Образует ли метрическое пространство множество точек плоскости, если расстояние между точками и определить по формуле:

1) ;

2) ;

3) .

13.8. Проверить, задают ли норму на числовой прямой следующие функции:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

13.9. Проверить, задают ли скалярное произведение векторов и следующие формулы:

1) ;

2) ;

3)

4)

5) .

Практическое занятие № 14 (2 часа).

Тема: Функции одной переменной.

План:

1. Функции. Классификация функций, способы задания функций.

2. Свойства функций.

3. Сложная и обратная функции

Методические рекомендации к занятию. Изучение темы следует начать с повторения основных понятий теории множеств. Далее нужно четко усвоить важнейшие понятия математического анализа – функции, уметь находить область её определения, знать способы задания функции: аналитический, графический, табличный, словесный.

В нашем курсе рассматриваются в основном элементарные функции. Студент должен уяснить определение элементарной функции, четко знать их свойства и строить графики следующих элементарных функций: (степенная), (показательная), (логарифмическая), , (тригонометрические функции), , . Необходимо усвоить понятие сложной функции (функции от функции).

Построение графика четной (нечетной) функции можно значительно упростить, если учесть, что графики четных функций симметричны относительно оси Оу, а нечетных – относительно начала координат. Одним из характерных свойств функции является монотонность (возрастание или убывание на каком-либо промежутке).

Необходимо вспомнить преобразование графиков функций.

– график совпадает с графиком для и является его симметричным отображением относительно оси Оу для .

– график совпадает с графиком , если и является его симметричным отображением относительно оси Ох, если .

Контрольные вопросы

1. Что такое функция?

2. Что называется областью определения функции?

3. Что называется областью значения функции?

4. Какие способы задания функции вы знаете? Приведите примеры.

5. Какие свойства функции вы знаете?

6. Какие геометрические особенности имеет график ограниченной функции?

7. Какие геометрические особенности имеют графики четной и нечетной функций?

Практические задания, выполняемые на занятии

14.1. Укажите, какие из перечисленных функций являются иррациональными, какие многочленами, рациональными функциями, трансцендентными:

а) , б) ; в) , г) ,

д) ; е) .

14.2. Найти область определения функции:

а) ; б) ; в) ;

г) .

14.3. Найти множество значений функции:

а) ; б) ; в) ; г) .

14.4. Установите четность или нечетность функций:

а) ; б) ;в) ; г) .

14.5. Найти основные периоды функции.

а) ; б) ; в) ; г) .

Указание: г) для первого слагаемого основной период равен , а для второго , тогда основным периодом данной функции является наименьшее общее кратное этих чисел, т.е.

14.6. Построить графики функций:

а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

14.7. Найти функцию, обратную данной:

а) , б) , в) .

14.8. Определить, является ли функция сложной, выделить внутреннюю и внешнюю функции:

а) , б) , в ) , г) .

Задания для самостоятельной работы

14.9. Найти область определения функции:

а) ; б) ; в) ; г) .

14.10. Найти множество значений функции:

а) ; б) ; в) ;г) ; д) ; е) .

14.11. Найти основные периоды функции.

а) ; б) ; в) .

14.12. Установите четность или нечетность функций:

а) ; б) ;в) ; г) .

14.13. Построить графики функций:

а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

Практическое занятие № 15 (2 часа).

Тема: Предел числовой последовательности.

План:

1. Определение числовой последовательности.

2. Предел числовой последовательности.

Методические рекомендации к занятию. Наряду с понятием функции понятие предела и непрерывности являются основными в разделе «Введение в математический анализ».

Понятие предела в курсе рассматривается для числовой последовательности , поэтому изучение темы следует начинать с введения понятия числовой последовательности. Необходимо знать различные способы задания последовательностей, свойства последовательностей. При введении понятия предела следует обратить внимание на необходимое и достаточное условие существования предела, уметь приводить примеры последовательностей, не имеющих предела.

Контрольные вопросы

1. Что называется числовой последовательностью?

2. Какие способы задания последовательности вы знаете? Приведите примеры различных способов задания последовательностей.

3. Какая последовательность называется ограниченной, а какая – неограниченной?

4. Какая последовательность называется возрастающей? В каком случае она называется строго возрастающей?

5. Какая последовательность называется убывающей? В каком случае она называется строго убывающей?

Дата добавления: 2014-12-26