Математична теорія масового обслуговування

Трудомісткість операцій при виготовленні кілець

Верстати	Витрати часу на одне кільце типів, хв.
А	Б	У
I
II

Варто визначити оптимальний варіант розподілу операцій за верстатами і часом, який було б витрачено при цьому оптимальному варіанті. Задачу виконуємо за допомогою симплексного методу.

Для складання математичної моделі даної задачі введемо на­ступ­ні умовні позначки:

х₁, х₂, х₃, – відповідно кількість кілець для підшипників типів А, Б, У, вироблених на верстаті I;

х₄, х₅, х₆, – відповідно кількість кілець для підшипників типів А, Б, У, вироблених на верстаті П.

Лінійна форма, що відбиває критерій оптимальності, буде мати такий вигляд:

min a(x) = 4x₁ + 10x₂ + 10x₃ + 6x₄ + 8x₅ + 20x₆ (1.32)

при обмеженнях

4x₁ + 10x₂ + 10x₃ £ 5000

6x₄ + 8x₅ + 20x₆ £ 5000

x₁ +x₄ = 500

x₂ + x₅ = 300

x₃ +x₆ = 450

x_j ³ 0, j = 1,..., 6

Змінимо умову задачі введенням додаткових (допоміжних) і фік­тивних перемінних. Запишемо так:

min a(x) = 4x₁ + 10x₂ + 10x₃ + 6x₄ + 8x₅ + 20x₆ + Mx₉ + Mx₁₀ + Mx₁₁ (1.33)

Система рівнянь, що відбиває обмежувальні умови машинного часу і кількість зробленої продукції:

4x₁ + 10x₂ + 10x₃ + х₇ £ 5000

6x₄ + 8x₅ + 20x₆ + х₈ £ 5000

x₁ +x₄ х₉ = 500

x₂ +x₅ х₁₀ = 300

x₃ +x₆ х₁₁ = 450

x_j ³ 0, j = 1,..., 11

Рішення цієї задачі представлено в додатку А. Оптимальний варі­ант отриманий на сьомому етапі (ітерації). Якби на верстаті I вироб­лялося 125 кілець підшипників типу А, 450 кілець підшипників типу В, на верстаті II – 375 кілець підшипників типу А і 300 кілець підшипників типу Б, то при такому завантаженні устаткування було б звільнено 350 хв. машинного часу верстата П. Загальні витрати часу за оптимальним варіантом склали б 9 650 хв., тоді як фактично витрачені 10 000 хв. машинного часу.

Типовою задачею, яка розв'язується за допомогою лінійного про­грамування, є транспортна задача. Її зміст полягає в мінімізації ван­тажообігу при доставці товарів широкого ужитку від виробника до споживача, з оптових складів і баз у роздрібні торгові підприємства. Вона зважується симплекс-методом або розподільним методом.

Теорія масового обслуговування вперше застосовувалася в теле­фонії, а потім і в інших областях господарської діяльності.

Наприклад, організація нормального процесу обслуговування по­купців пов'язана з правильним визначенням наступних показників: кількості підприємств даного торгового профілю, кількості продавців у них (у тому числі і "механічних"), наявності відповідних основних фон­дів, частоти завезення товарів, чисельності населення, що обслугову­ється, швидкості обертання і потреби у відповідних товарах (за групо­вим і внутрігруповим асортиментом). Якщо припустити, що підприєм­ство володіє необхідними основними фондами, здійснює торгівлю товарами, які має в достатній кількості (при нормальній частоті заве­зення), то і тоді в процесі обслуговування залишаються такі змінні ве­личини, що можуть істотно вплинути на якість обслуговування. Отже слід вибрати такий оптимальний варіант організації торгового обслу­говування населення, при якому час обслуговування буде мінімальним, якість – високою, не буде зайвих народногосподарських витрат. Математичний апарат теорії масового обслуговування полегшує роз­в'я­зання цієї задачі. При цьому розрізняють дві форми обслугову­вання: з неявними втратами і з явними втратами.

Систему масового обслуговування з неявними втратами (прави­ло черг) можна показати на прикладі обслуговування робітників необхідним інструментом (з відокремлених комор промислового під­приємства).

Припустимо, що в інструментальній коморі працюють два комір­ники. Потрібно визначити, якою мірою вони вчасно забезпечують заявки на обслуговування, що надходять від робітників; чи не обхо­дяться простої робітників у черзі за інструментом дорожче, ніж додаткове утримання ще одного чи двох комірників?

Для рішення даної задачі необхідні, насамперед, хронометражні ви­міри про потік вимог щодо обслуговування в одиницю часу. Якщо хро­но­метраж здійснювався протягом 10 днів кожні 15 хв. за зміну (крім почат­ку і кінця робочого дня), то за цей відрізок часу було зроблено 300 спо­стережень (30 спостережень, помножене на 10). Час спосте­режень (Т) складе 4 500 хв. (15-300). Причому таких проміжків, коли на склад ніхто не приходив чи приходив тільки один робітник, не спосте­рігалося, при­хід двох робітників відзначався один раз, трьох – три рази і т. д. (табл. 1.10).

Таблиця 1.10

Дата добавления: 2014-12-26