Решение систем линейных уравнений матричным методом

Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли (формулировка). Правило Крамера.

Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом: ,

где a_ij – коэффициенты, а b_i – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Определение. Для системы линейных уравнений матрица

А = называется матрицей системы, а матрица

А^*= называется расширенной матрицей системы.

Определение. Если b₁, b₂, …,b_m = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.

Элементарные преобразования систем.

К элементарным преобразованиям относятся:

1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.

2)Перестановка уравнений местами.

3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

Теорема Кронекера – Капелли.

(условие совместности системы)

Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

RgA = RgA^*.

Следствие. Если ранг расширенной матрицы системы не равен рангу матрицы системы, то система не совместна.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений.

А = ; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;

A* =

RgA* = 2.

Система совместна. Решения: x₁ = 1; x₂ =1/2.

Метод Крамера.

Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.

Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.

det A ¹ 0;

Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.

Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

x_i = D_i/D, где

D = det A, а D_i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b_i.

D_i =

Пример.

A = ; D₁= ; D₂= ; D₃= ;

x₁ = D₁/detA; x₂ = D₂/detA; x₃ = D₃/detA;

Если система однородна, т.е. b_i = 0, то при D¹0 система имеет единственное нулевое решение x₁ = x₂ = … = x_n = 0.

При D = 0 система имеет бесконечное множество решений.

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.

Метод удобен для решения систем невысокого порядка.

Метод основан на применении свойств умножения матриц.

Пусть дана система уравнений:

Составим матрицы: A = ; B = ; X = .

Систему уравнений можно записать:

A×X = B.

Сделаем следующее преобразование: A^-1×A×X = A^-1×B,

т.к. А^-1×А = Е, то Е×Х = А^-1×В

Х = А^-1×В

Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.

Пример. Решить систему уравнений:

Х = , B = , A =

Найдем обратную матрицу А^-1.

D = det A = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.

M₁₁ = = -5; M₂₁ = = 1; M₃₁ = = -1;

M₁₂ = M₂₂ = M₃₂ =

M₁₃ = M₂₃ = M₃₃ =

A^-1 = ;

Cделаем проверку:

A×A^-1 = =E.

Находим матрицу Х.

Х = = А^-1В = × = .

Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.

Несмотря на ограничения возможности применения данного метода и сложность вычислений при больших значениях коэффициентов, а также систем высокого порядка, метод может быть легко реализован на ЭВМ.

Дата добавления: 2014-12-26