Уравнения Максвелла для комплексных амплитуд поля

Переменные электромагнитные поля

Магнитное поле линейного тока

Рассмотрим теперь способ нахождения магнитного поля в наиболее распространенном случае линейного тока (т.е. когда поперечные размеры проводника малы по сравнению с его длиной и по сравнению с расстоянием до точки, в которой определятся ). Элемент объема проводника , где – элемент поперечного сечения; – элемент длины (рис. 10.11).

Выберем направление всюду так, чтобы оно совпадало с направлением вектора плотности тока . Тогда:

, (10.59)

следовательно,

. (10.60)

Считая, что расстояния до точки, в которой определяется , одинаковы для всех данного сечения s и одинаковы все отрезки , получаем

, (10.61)

где - ток в проводнике.

Отсюда

. (10.62)

Теория переменных электромагнитных процессов основана на системе уравнения Максвелла в ее полном виде. Входящие в эти уравнения операции rot и div выражаются через комбинации частных производных от проекций векторных полей . При этом достаточно определить один электрический и один магнитный вектор; другие два вектора могут быть получены из материальных уравнений.

Таким образом, уравнение Максвелла представляет собой систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка относительно шести неизвестных функций (например: E_x, E_y, E_z, H_x, H_y, H_z). Решение такой системы – это, вообще говоря, достаточно сложная задача. Но для практических целей оказывается возможным ввести некоторые упрощения.

Например, наиболее часто на практике встречается случай, когда электромагнитный процесс является монохроматическим, т.е. изменение полей во времени представляется гармоническими колебаниями с некоторой частотой w.

В общем случае вектор какого-либо поля (например ), изменяющийся во времени по гармоническому закону, в некоторой точке пространства запишется следующим образом:

(10.63)

Или можно записать в комплексной форме

(10.64)

Комплексный вектор вида называется комплексной амплитудой поля .

Здесь метод комплексных амплитуд отличается от аналогичного в электротехнике. В теории поля комплексные амплитуды полей всегда представляют собой трёхмерные пространственные векторы. Экспоненциальные множители с мнимыми показателями, стоящие при комплексных амплитудах, характеризуют фазовые соотношения между величинами.

Комплексные амплитуды могут быть введены в уравнения Максвелла.

1-е уравнение тогда запишется как

. (10.65)

Допустимо изменить порядок следования дифференциальных операций и операций взятия вещественной части и сократить на общий множитель e^jwt. Тогда уравнение перепишется в виде

, (10.66)

т.е. переход к комплексным амплитудам совершен по тем же правилам, что и в электротехнике: дифференцирование по времени мгновенного значения поля заменяется на множитель jw: .

Система уравнений Максвелла в комплексном виде:

1). ;

2). ;

3). ;

4). ;

5). ;

6). .

Дата добавления: 2014-12-26