Метод неопределенных коэффициентов

Метод вариации постоянных

Если общее решение y ₀ ассоциированного однородного уравнения известно, то общее решение неоднородного уравнения можно найти, используя метод вариации постоянных.

Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

Вместо постоянных C ₁ и C ₂ будем рассматривать вспомогательные функции C ₁(x) и C ₂(x). Будем искать эти функции такими, чтобы решение

удовлетворяло неоднородному уравнению с правой частью f (x).

Неизвестные функции C ₁(x) и C ₂(x) определяются из системы двух уравнений:

Правая часть f (x) неоднородного дифференциального уравнения часто представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию, или некоторую комбинацию указанных функций. В этом случае решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов.

Подчеркнем, что данный метод работает лишь для ограниченного класса функций в правой части, таких как

1.

2.
где P_n (x) и Q_m (x) − многочлены степени n и m, соответственно.

В обоих случаях выбор частного решения должен соответствовать структуре правой части неоднородного дифференциального уравнения.

В случае 1, если число α в экспоненциальной функции совпадает с корнем характеристического уравнения, то частное решение будет содержать дополнительный множитель x^s, где s − кратность корня α в характеристическом уравнении.

В случае 2, если число α + βi совпадает с корнем характеристического уравнения, то выражение для частного решения будет содержать дополнительный множитель x.

Неизвестные коэффициенты можно определить подстановкой найденного выражения для частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

Дата добавления: 2014-12-26