Достаточное условия разложимости функции в ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Вещественная форма ряда Фурье

Пусть функция удовлетворяет на условиям Дирихле, тогда она представима на этом промежутке рядом Фурье

, (1)

где . (2)

Преобразуем ряд (1)

.

Используя формулы

получим

.

Введём обозначения .

Имеем

.

Получим формулы для коэффициентов , , :

;

,

т.к. , то ;

,

т.к. , то .

Итак, ряд Фурье в вещественной форме для функции на имеет вид

; (3)

,

, (4)

Если разлагаемая на отрезке в ряд Фурье функция является четной или нечетной, то это отражается на формулах коэффициентов ряда (вычисление их упрощается) и на виде самого ряда.

Если функция четная, то ее ряд Фурье имеет вид

, (9)

где , . (10)

Если функция нечетная, то ее ряд Фурье имеет вид

(11)

где . (12)

Доказательство

Известно, что если функция интегрируема на симметричном отрезке , то

если

Если - четная, то - четная функция , а - нечетная функция .

Если же - нечетная функция, то - нечетная, а - четная функция.

С учетом этих фактов и из формул (5)-(6) получаем формулы (9)-(12).

Ряды (9) и (11) называются неполными рядами Фурье, или рядами по косинусам и по синусам соответственно.

Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье

Точка разрыва функции называют точкой разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке.

ТЕОРЕМА 1 (Дирихле). Если периодическая с периодом функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода на отрезке [ ] и этот отрезок можно разбить на конечное число частей, в каждом из которых f (x) монотонна, то ряд Фурье относительно функции сходится к f (x) в точках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функция удовлетворяющая этим условиям называется кусочно-монотонной).

ТЕОРЕМА 2. Если f (x) периодическая функция с периодом , которая на отрезке [ ] вместе со своей производной непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, то ряд Фурье функции f (x) в точках разрыва к среднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этой теореме называется кусочно-гладкой).

Дата добавления: 2014-12-26