РЕШЕНИЕ. 1 страница

Объем приведенной выборке равен 10. Тогда среднее значение параметра шероховатости определится как:

Выборочная дисперсия находится по формуле:

Исправленная выборочная дисперсия будет равна:

Выборочное среднее квадратическое отклонение определится как:

Исправленное среднее квадратическое отклонение будет равно:

Интервальной оценкой (с надежностью ) среднего значения генеральной совокупности по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении служит доверительный интервал

,

где - точность оценки, - значение аргумента функции Лапласа при котором , определяемое по таблицам функции Лапласа.

При неизвестном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности и при объеме выборке меньше 30, доверительный интервал среднего значения определяется как

,

где – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, , находят по таблицам по заданному объему выборки и надежности .

В данном случае объем выборки меньше 30, поэтому

.

Здесь значение принято в соответствии с таблицей приложения 3 [2].

Таким образом доверительный интервал среднего значения параметра шероховатости шлифованных валов будет равен:

или

.

Интервальной оценкой (с надежностью ) среднего квадратического отклонения генеральной совокупности по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению служит доверительный интервал:

,

где величина определяется по таблицам по заданным и .

В соответствии с таблицей приложения 3 [2] при и величина . Следовательно, искомый доверительный интервал будет:

или

Задание № 7.

По результатам замеров содержания вредных веществ (гексана), выделяющихся из смазывающих - охлаждающих технологических сред (СОТС) в процессе механической обработки заготовок определить вероятность превышения допустимых норм. Допустимые нормы концентрации вредных веществ задаются интервалом: 21i мг/м³– 30j мг/м³.

Данные по концентрации вредных веществ, представлены в виде следующей выборки:

10i; 78; 126,8; 80,i; 2i; 107; 36,i; 11j; 35,6; 96; 80; 89; 3j,8; 126; 12,8; 82; 78,j; 126,3; 100; 78; 11j; 24,7; 126; 95; 113; 78,j; 150,3; 82; 36,i; 10j; 9j; 35,8; 112; 1j0,3; 82; 109; 35,j; 98; 126,3; 97; 112; 78,8; 126,9; 78,j; 104; 82; 10i; 78,8; 126,8; 1j,5; 100; 36,i; 103; 96; 89; 80; 10i; 13; 98; 80Д; 104; 96; 126; 78; 15i; 89; 14,6; 109; 37; 126,8; 82; 150,3; 3j,5; 126,9; 96; 35,8; 110; 80; 9j; 79; 17,2; 103; 78; 9j; 109,8; 10i; 35,3; 10j; 79,8; 170; 98; 78,6; 126; 82; 100; 36,2; 10i; 80,1; 110,4; 36; 10j; 78; 95; 108; 104,7; 80; 97; 104.

Теоретический материал для данного задания приведен в [4].

Для подтверждения корректности и правомочности производимых процедур, статистика на всех этапах расчета, предполагает проведение анализа (и, фактически, проверки) того, что делается, а именно:

- на этапе обработки информации необходимо, в случае, если имеются результаты, резко отличающиеся от основной массы данных, проверить, следует ли учитывать эти результаты, т.е. принадлежат ли они данной выборке, или их нужно отбросить;

- на этапе получения выборочных статистических характеристик, когда обрабатываются несколько отдельных выборок, объем каждой из которых слишком мал, встает вопрос о том, можно ли эти выборки объединить. То есть, фактически, нужно установить, относятся ли полученные статистики к единой генеральной совокупности. Если это так, то все эти выборки можно объединить в одну, более представительную, и полученные статистики будут обладать большей достоверностью;

- конечной целью статистических расчетов является получение закона распределения исследуемой случайной величины. В большинстве случаев предполагается один, реже два, три варианта законов распределения, окончательный выбор которого делается с помощью соответствующих критериев, которые называются критерии согласия.

Методически, каждая из этих проверок проводится по одной и той же схеме:

- постановка задачи - какой вид проверки рассматривается;

- формулировка положения, которое проверяется (выдвижение нулевой гипотезы);

- выбор критерия (или критериев), с помощью которого проверяется нулевая гипотеза.

Нулевая гипотеза- это гипотеза (обозначается - ), предполагающая благоприятный исход опыта.

Нулевую гипотезу выдвигают, а затем проверяют с помощью статистических критериев с целью выявления оснований для ее отклонения и для принятия альтернативной гипотезы .

Например, при решении вопроса о принадлежности резко выделяющегося значения данной выборке, нулевой или исходной гипотезой при использовании критериев является предположение о том, что наибольшее значение (или наименьшее )принадлежит к той же генеральной совокупности, как и все остальные результатов.

Если имеющийся статистический материал не позволяет отвергнуть нулевую гипотезу, то ее принимают и используют в качестве рабочей гипотезы до тех пор, пока новые накопленные результаты не позволяют ее отклонить.

Нулевая гипотеза отклоняется тогда, когда на основании выборочных испытаний получается маловероятный результат для случая истинности выдвинутой нулевой гипотезы.

Границей между высокой и малой вероятностью служат так называемые уровни значимости.

Для большинства областей научного исследования в качестве уровней значимости принимают 5-% и 1-%-ый уровни. Значительно реже используется 0,1%-ный уровень значимости ( =0,05 или =0,01, реже =0,1 или =0,001).

Величина является уровнем значимости критерия и представляет вероятность отвержения нулевой гипотезы в том случае, если она верна (вероятность ошибки 1-го рода).

Таким образом, возможные исходы при проверке статистических гипотез могут быть следующими:

Решение по статистическому критерию	Верно	Неверно
Н0 отвергается	Ошибочное решение (ошибка 1-го рода)	Правильное решение
Н0 не отвергается	Правильное решение	Ошибочное решение (ошибка 2-го рода)

Ошибка 2-го рода является более опасной, чем 1-го, так как гораздо хуже отвергнуть правильное решение, чем принять неправильное.

Если во время проведения эксперимента наблюдается резкое отклонение от нормы некоторых результатов и очевидны причины этого, то их следует просто исключить из дальнейшего рассмотрения.

Иногда причина резких отклонений опытных данных не ясна, однако полученный результат вызывает сомнение. В подобных случаях сомнительные результаты исключают (или не исключают) путем проверки с применением специальных критериев.

Первой предварительной проверкой является тот факт, находится ли сомнительный результат в интервале или нет.

При больших объемах, когда существует уверенность в надежности оценки среднего квадратического отклонения , а также в некоторых случаях при малых выборках, когда величина среднего квадратического отклонения известна по результатам более ранних испытаний, для решения вопроса о принятии или исключении сомнительных результатов целесообразно использовать критерий Ирвина ().

Для этого вычисляют если резко выделяющимся результатом является последний член вариационного ряда, и если - первый.

Вычисленные значения сопоставляют с критическим значением , найденным теоретически для заданного уровня доверительной вероятности объема выборки . ( - уровень значимости). Величина берется из таблицы 7.1:

Таблица 7.1. Значения величин

	Значения при =...
2						…
0,10	2,3	1,8	1,2	1,0	1,0	0,9	…	0,6
0,05	2,8	2,2	1,5	1,3	1,2	1,1	…	0,8
0,01							…	1,2
0,005		3,2	2,3	2,0	1,9	1,8	…	1,4

Если , то отклонение величины механической характеристики следует считать случайным, т.е. оно вызвано лишь проявлением неоднородности свойств испытуемого объекта. В этом случае нулевая гипотеза подтверждается.

Если , то отмеченный выброс или не случаен, не характерен для рассматриваемой совокупности данных, а определяется грубыми ошибками в методике получения данных или другими ошибками в эксперименте.

Так как нулевая гипотеза в этом случае отклоняется, сомнительные значения или исключают из рассмотрения, а найденные ранее статистики подвергают корректировке.

В тех случаях, когда располагают лишь статистиками рассматриваемой выборки, целесообразно пользоваться критерием Груббса (для малых выборок ).

Для этого, в зависимости от того, какой из крайних членов вариационного ряда является более сомнительным, определяют значения

или ,

где - выборочное среднее квадратическое отклонение.

Вычисленные значения сопоставляют с критическими значениями, найденными из таблиц для заданного уровня значимости и объема выборки .

Нулевую гипотезу принимают, если и отвергают, если .

Критерий Груббса предназначен для случая нормального закона распределения случайной величины и действителен для наиболее широко встречающихся ситуаций, при которых генеральные параметры неизвестны, а известны лишь их оценки, полученные на основании полученной выборки.

Использование критерий для отбрасывания при неизвестной генеральной дисперсии () возможно для нормального распределения случайной величины при неизвестном математическом ожидании и известном значении генеральной дисперсии.

Статистика критерия определяется как

или ,

где - известная генеральная дисперсия.

Если или ,то нулевая гипотеза не отклоняется, т.е. результат испытания или не следует считать выбросом и он должен учитываться, как и остальные результатов.

В противоположном случае при или ,нулевая гипотеза отклоняется, т.е. результат или является ошибочным и должен быть исключен из дальнейшего анализа, а найденные ранее оценка математического ожидания должна быть скорректирована.

При решении ряда практических задач возникает необходимость определения значимости или случайности в расхождениях выборочных характеристик между собой, а также в расхождениях выборочных и известных генеральных характеристик.

Рассматриваемые ниже критерии (равенства дисперсий и равенства средних значений) предполагают, что исследуемые случайные величины распределены по нормальному закону или логнормальному. При других же законах распределения эти критерии некорректны, и их использование может привести к ошибочным результатам.

К критериям для установления принадлежности отдельных выборок одной и той же генеральной совокупности относится критерии для установления принадлежности отдельных выборок одной и той же генеральной совокупности. Статистикой критерия является величина

.

В некоторых практически важных случаях имеющийся большой экспериментальный материал позволяет с высокой точностью и статистической надежностью оценить генеральную дисперсию случайных величин .

Допустим, что в условиях, несколько отличающихся от предыдущих по ряду параметров, были проведены исследования, получена некоторая выборка значений случайных величин и вычислена оценка дисперсии исследуемой характеристики .

Требуется проверить нулевую гипотезу ,заключающуюся в том, что дисперсия генеральной совокупности, из которой взята указанная выборка, равна (доказать .

Рассмотрим решение этой задачи при трех возможных альтернативных гипотезах .

1. Альтернативная гипотеза . Если для выбранного уровня значимости выполняется неравенство

то нулевую гипотезу не отклоняют.

Если неравенство несправедливо, то нулевую гипотезу отвергают и принимают альтернативную гипотезу .

2. Альтернативная гипотеза . Нулевую гипотезу не отклоняют, если выполняется неравенство

В случае несоблюдения неравенства нулевую гипотезу отвергают и принимают альтернативную .

3.Альтернативная гипотеза .

В этом случае для проверки нулевой гипотезы , используют двусторонний критерий. Если неравенства

справедливы, то нулевую гипотезу не отклоняют.

При невыполнении неравенства нулевую гипотезу отвергают и принимают альтернативную .

При использовании рассмотренных критериев, как и других критериев, важно, задаваясь приемлемой величиной уровня значимости обеспечить достаточно низкую вероятность ошибки 2-го рода, т.е. иметь достаточно высокую уверенность в браковке нулевой гипотезы в то время, когда верна альтернативная.

Другими словами, при проверке нулевой гипотезы должна быть обеспечена необходимая мощность критерия относительно альтернативной гипотезы.

Мощность одностороннего критерия в зависимости от фактического отклонения генеральных дисперсий

и принятого уровня значимости определяется из соотношения

где - максимальное относительное расхождение (ошибка) в средних квадратических отклонениях при принятии нулевой гипотезы с уровнем значимости

- вероятность совершить ошибку 2-го рода, т.е. принять неверную нулевую гипотезу.

Следующим критерием является критерий равенства дисперсий ряда совокупностей.

Нулевая гипотеза в этом случае заключается в том, что все m генеральных совокупностей, из которых взяты выборки, имеют равные дисперсии, т.е. .

Наиболее простым критерием проверки нулевой гипотезы о равенстве (однородности) ряда дисперсий при одинаковых объемах выборок является критерий Хартлея, который предусматривает вычисление статистики

и сопоставления ее с критическим значением для выбранного , числа партий и .

При выполнении неравенства нулевую гипотезу не отвергают, в противном случае - отвергают и принимают альтернативную гипотезу.

Критерий Кочрена () используется также при равных объемах отдельных выборок и является предпочтительным по сравнению с критерием Хартлея в случаях, когда одна из выборочных дисперсий значительно больше остальных, а также при (m - число выборок).

При использовании критерия Кочрена находят статистику

и сопоставляют с критическим значением для выбранного уровня значимости , числа партий и , определяемого из таблиц.

Если выполняется неравенство , то нулевую гипотезу не отвергают. При несоблюдении этого неравенства нулевую гипотезу отвергают и принимают альтернативную.

В связи с тем, что критерий Кочрена использует больше информации, он оказывается несколько более чувствительным, чем критерий Хартлея.

Критерий равенства дисперсий двух совокупностей – критерий Фишера (двусторонний F-критерий) использует статистику

.

Пусть по результатам испытаний двух независимых выборок объемом и из нормально распределенных совокупностей подсчитаны оценки дисперсий и ,причем .

Требуется проверить нулевую гипотезу о том, что указанные выборки принадлежат генеральным совокупностям с равными дисперсиями, т.е. при альтернативной гипотезе .

С этой целью используют двусторонний F-критерий (критерий Фишера), для чего находят статистику

при

и сопоставляют с критическим значением , определяемого из таблиц в зависимости от и для и .

Если выполняется, то нулевую гипотезу не отвергают. В противном случае принимают .

В случае подтверждения нулевой гипотезы по двум л выборочным дисперсиям производят оценку генеральной дисперсии :

,

которая может быть использована для построения доверительных интервалов.

При неодинаковом числе образцов в отдельных партиях однородность может быть проверена с помощью критерия Бартлета (). В этом случае вычисляют

,

где ,

и сравнивают с табличным значением ,найденным для выбранного уровня значимости и числа степеней свободы из таблиц..

Если выполняется условие ,то нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий совокупностей, из которых взяты выборки, не отвергают.

Дата добавления: 2014-12-26