Примеры вычисления производных сложных функций

Пример 1. Найти производную сложной функции y= ,u=x⁴ +1.

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции, получим:

y'_x =y '_u u'_x =( )'_u(x⁴ +1)'_x =(2u + . Так как u=x⁴ +1, то

y'_x=(2 x⁴ +2+ .

Пример 2. Найти производную функции y= .

Решение. Представим функцию y= в виде суперпозиции двух функций: y = e^u и u = x². Имеем: y'_x =y '_u u'_x = (e^u)'_u(x²)'_x = e^u ×2x. Подставляя x² вместо u, получим y=2x .

Пример 3. Найти производную функции y=ln sin x.

Решение. Обозначим u=sin x, тогда производная сложной функции y=ln u вычисляется по формуле y' = (ln u)'_u(sin x)'_x= .

Пример 4. Найти производную функции y= .

Решение. Случай сложной функции, полученной в результате нескольких суперпозиций, исчерпывается последовательным применением правила 5:

.

Задание для практической работы по теме «Вычисление производных сложных функций». Н айти производные сложных функций:

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3
Уровень А.   1. y=(x^2+1)^3 2. y=arcsin 2x   Уровень В.   3. y=(2^5^x^+5)^3 4.	Уровень А.   1. y=   2. y=cos (x^2-6)   Уровень В.   3. y= ln (1+9x)^3 4.	Уровень А.   1. y=lg10x   2. y= arcsin 3x   Уровень В.   3. 4. y=arcos(cos lnx)
Вариант 4	Вариант 5	Вариант 6
Уровень А.   1. y=5^5^x 2. Уровень В.   3. y=arctg ln x^2 4.	Уровень А.   1. y=4^cosx 2. y=log2(5-x^3)   Уровень В.   3. 4.	Уровень А.   1. y=4+4^4^x 2. Уровень В.   3. y=3^1/x 4.
Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9
Уровень А.   1. y=arctg(5-x)   2. y=2^sinx   Уровень В.   3. y=log6(5x+8)^2 4.	Уровень А.   1. y=log34x   2.y=tg(x-3)   Уровень В.   3. y=9^arcsin^5^x 4.	Уровень А.   1. y=cos (x^2-6)   2. y=(x^2+1)^3   Уровень В.   3. y=(2^5^x^+5)^3 4.

практическая работа № 4

Тема 1.4:«Вычисление производных высших порядков функции нескольких переменных».

Цель: Научиться вычислять производные высших порядков функции нескольких переменных

Теоретический материал:

Дата добавления: 2014-12-26