Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Теоретический материал. Интерполя́ция, интерполи́рование — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору




Интерполя́ция, интерполи́рование — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто приходится оперировать наборами значений, полученных экспериментальным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Метод конечных разностей — широко известный и простейший метод интерполяции. Его суть заключается в замене дифференциальных коэффициентов уравнения на разностные коэффициенты, что позволяет свести решение дифференциального уравнения к решению его разностного аналога, то есть построить его конечно-разностную схему.

Рассмотрим интерполяционную задачу для функции :

где

Конечной разностью 1-го порядка называют разность между двумя соседними значениями в узлах интерполяции, то есть

Конечной разностью 2-го порядка называют разность между двумя соседними конечными разностями 1-го порядка, то есть

Конечной разностью порядка (для ) называют разность между двумя соседними конечными разностями порядка , то есть

Пример1. Дана таблица некоторой функции

i xi yi
  8,8 5,9
  8,9 5,4
    4,8

Вычислить конечную разность Δ2y0.

Оформим решение в виде таблицы:

i xi yi Δy Δ2y
  8,8 5,9 5,4-5,9=-0,5 -0,6-(-0,5)=-0,1
  8,9 5,4 4,8-5,4=-0,6  
    4,8    

Ответ: Δ2y0 = -0,1.

Рассмотрим использование интерполянта для нахождения производной функции в точке х по заданной таблично функции у=f(х) методом конечных разностей на примере.

Пример2. Некоторая функция y=f(x) задана в виде таблицы

xi        
yi 3,1 5,2 7,2 9,2

Требуется найти значение производной данной функции в некоторой точке. Можно заменить данную функцию, аналитическая запись которой неизвестна, некоторой другой функцией (интерполянтом) y=φ(x), для которой φ(x)⋲f(x) и найти производную функции y=φ(x). Если шаг таблицы h (разность между соседними значениями х) постоянен, то можно воспользоваться формулой:

(*)

Вычисления будем производить с двумя знаками после запятой. Для заданной в виде таблицы функции y=f(x) необходимо найти f '(0,3).

h=1-0=1, t=(x-0)/1=x.

Вычисление конечных разностей оформим в виде таблицы:

i xi yi Δy Δ2y Δ3y
    3,1 5,2-3,1=2,1 2-2,1=-0,1 0-(-0,1)=0,1
    5,2 7,2-5,2=2 2-2=0  
    7,2 9,2-7,2=2    
    9,2      

Тогда, подставив полученные значения в формулу (*), получим

.

Далее находим φ'(x) и φ'(0,3). Получим, что φ'(0,3)=2,2.

Задание для практической работы по теме «Нахождение значения производной функции в точке Х по заданной таблично функции у=f(х) методом численного дифференцирования».

Некоторая функция y=f(x) задана в виде таблицы. Найти приближенно f ' (a) с помощью конечных разностей..

Вариант 1. а=0,2  
xi        
yi        

 

 

 

Вариант 2. а=2,5  
xi        
yi        

 

 
Вариант 3. а=0,2  
xi        
yi        

 

 

 

Вариант 4. а=3,1  
xi        
yi        

 

 

 

Вариант 5. а=0,5  
xi        
yi        

 

 

Практическая работа № 17

Тема 4.2: «Приближенное решение задачи Коши дифференциального уравнения y'=f(x,y) с начальным условием y(x0)=y0 методом Эйлера».

Цель: Решать приближенно дифференциальное уравнение вида y'=f(x,y) с начальным условием y(x0)=y0 (задачи Коши) методом Эйлера.

Теоретический материал :

Численное дифференцирование используется для приближенного вычисления производных функции заданной таблицей и для функций, которые по разным причинам неудобно или невозможно дифференцировать аналитически. В последнем случае вычисляется таблица функции в окрестности исследуемой точки и по этим значениям вычисляется приближенное значение производной.

Рассмотрим численный метод решения дифференциального уравнения первого порядка вида у'=f(x,y), который носит название метода Эйлера.

y1=y0+h*f(x0,y0) x1=x0+h Расчетные формулы для 1-го шага
yi+1=yi+h*f(xi,yi) xi+1=xi+h Расчетные формулы для i-го шага


Примеры вычислений

 

Дано у'= xy2, x0=0, y0 =2, (или по другому y(0)=2), h=0,1. Найти с точностью до десятых y(0,2) (т.е. y2).

Алгоритм решения поместим для удобства в таблицу.

шаг i xi yi у'= xiyi2 Δy =h*f(xi,yi)
      0·22=0 0,1·0=0
  0+0,1=0,1 2+0=2 0,1·22=0,4 0,1·0,4=0,04
  0,1+0,1=0,2 2+0,04=2,04⋲2    

Ответ: y(0,2)⋲2

 

Задание для практической работы по теме «Решить приближенно дифференциальное уравнение вида y'=f(x,y) с начальным условием y(x0)=y0 (задачи Коши) методом Эйлера»

 

Вычислить значение y(0,3) для функции заданного вида с начальными условиями y(0)=2 методом Эйлера.

 

Вариант 1. у'=y-x2y,

Вариант 2. у'=y+x2y

Вариант 3. у'=(1-2x)·y2

Вариант 4. у'=(1-x2)·y

 

Вариант 5. у'=(y2-y)·x

Вариант 6. у'=4x-2y

Вариант 7. у'=2x-y

Вариант 8. у'=x+3y

Вариант 9. у'=4x+y

Вариант 10. у'=3x-2y+5


Практическая работа № 18

Тема 4.3: "Приближенное вычисление значения функции y(x) в точке с помощью производной".

Цель: Вычислять приближенное значения функции y(x) в точке с помощью производной.

Теоретический материал :

 

Вспомним уравнение касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой . Объяснение по графику и записи рисунка. Каково взаимное расположение точек графика функции и точек касательной вблизи точки касания с абсциссой ? (Ответ: очень близко расположены). Что это означает? Если функция y= f(x) дифференцируема в точке , то значения функции в точках из окрестности точки очень мало отличаются от значений функции, задающей уравнение касательной, и для всех значений х из окрестности точки можно записать:

f(x)≈ .

Поскольку x, можно записать

f(x)≈ x




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-26; Просмотров: 740; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.03 сек.