Примеры решения задач. Указания к выполнению контрольных работ по прикладной математике

Указания к выполнению контрольных работ по прикладной математике.

Задача №1

Дано:

Найти:

1) точное значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница;

2) приближенное значение интеграла по формуле трапеций, разбивая отрезок интегрирования на 8 равных частей и производя вычисления с округлением до четвертого десятичного знак;

3) относительную погрешность в процентах.

Решение:

1) Решаем данный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

Ответ:

2) Вычислим данный интеграл по приближенной формуле трапеций:

Формула трапеции:

Подынтегральная функция

Составим расчетную таблицу

x	X0	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8
-6	-5	-4	-3	-2	-1
y	Y0	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	Y7	Y8
-3	-2,6207	-2,0801		2,0801	2,6207		3,3019	3,5569

Подставим найденные значения в формулу (2).

Таким образом, приближенное значение интеграла равно 6,5804.

Оценим дополнительную погрешность по формуле: .

Для этого найдем:

Т.к. то функция достигает наибольшего значения на концах отрезка .

Найти это значение подставим в формулу (3).

Ответ:

1) Точное значение интеграла:

2) Приближенное значение этого интеграла:

3) Относительная погрешность в процентах:

Задача №2

Построить выпуклый многоугольник, заданный системой неравенств

Пользуясь геометрической интерпретацией основной задачи линейного программирования, найти минимум и максимум линейной формы:

Решение. Построим прямоугольную систему координат х₁Ох₂. Если в этой системе координат построить прямую ax₁+bх₂= с, то эта прямая разбивает плоскость х₁Ох₂ на две полуплоскости, каждая из которых лежит по одну сторону от прямой. Сама прямая в этом случае называется граничной и принадлежит обеим полуплоскостям. Координаты точек, лежащих в одной полуплоскости, удовлетворяют неравенству ax₁+bх₂≤с, а координаты точек, лежащих в другой полуплоскости, удовлетворяют неравенству ax₁+bх₂≥ с. Построим в плоскости х₁Ох₂ граничные прямые: х₁—х₂ = — 2(АВ), x₁—3x₂=—10(BC), x₁+2x₂= 4(АЕ), x₁=8(CD) и x₂=0(ED). В результате получим пятиугольник ABCDE (рис. 15). Значения x₁ и х₂, удовлетворяющие системе неравенств (1), являются координатами точек, лежащих внутри или на границе найденного пятиугольника. Теперь задача сводится к тому, чтобы найти те значения х₁ и x₂, при которых линейная форма L(2) имеет минимум, и те значения х₁ и x₂, при которых линейная форма L достигает максимума. Из рис. 15 видно, что координаты всех точек, лежащих внутри или на границе пятиугольника, не являются отрицательными, т. е. все значения х₁ и x₂ больше или равны нулю.

Для каждой точки плоскости х₁Ох₂ линейная форма L принимает фиксированное значение. Множество точек, при которых линейная форма L принимает фиксированное значение L₁, есть прямая 2x₁+x₂=L₁(l₁) которая перпендикулярна вектору N = 2i + j. Если прямую l₁ передвигать параллельно самой себе в положительном направлении вектора N, то линейная форма L будет возрастать, а в противоположном направлении — убывать. Построим прямую (l₁) для того случая, когда L=0, т. е. построим прямую 2x₁+x₂=0. Как видно из рис. 15, при передвижении прямой l₁ в положительном направлении вектора N она впервые встретится с вершиной А построенного пятиугольника ABCDE. В этой вершине линейная форма L имеет минимум. Следовательно, L_min= 2×0+ 1×2 = 2. При дальнейшем передвижении прямой l₁ параллельно самой себе в положительном направлении вектора N значение линейной формы L будет возрастать, и оно достигнет максимального значения в точке С (8; 6). Таким образом L_max= 2×8 +1×6 = 22.

Задача №3

Решение. Совхозу требуется не более 10 трехтонных автомашин и не более 8 пятитонных. Отпускная цена машины первой марки 2000 руб., второй марки 4000 руб. Совхоз может выделить для приобретения машин 40 000 руб. Сколько следует приобрести автомашин каждой марки в отдельности, чтобы их общая (суммарная) грузоподъемность была максимальной.

Решение. Пусть приобретено х₁ — трехтонных, x₂ — пятитонных автомашин. Тогда заданные условия задачи можно записать так:

или

Линейная форма L (часто ее называют целевой функцией) применительно к условиям данной задачи имеет вид

L = 3x₁+ 5х₂

Требуется найти те значения х₁ и х₂, при которых L достигает максимального значения. По условию задачи x₁≥0 и х₂≥0. Задачу можно решить графическим методом, который был использован при решении предыдущей задачи. Можно построить многоугольник OABCD (рис. 16), вектор N = 3i+5j, прямую 3x₁+5х₂ = 0 (l₁) и затем, перемещая прямую l₁ в положительном направлении вектора N перпендикулярно этому вектору, установить, что L достигает максимального значения в точке С, для которой х₁=10 и х₂=5. Следовательно, совхозу следует приобрести 10 трехтонных и 5 пятитонных машин. В этом случае общая грузоподъемность составит 55 тонн.

Рассмотрим аналитический метод решения этой задачи. Условия задачи характеризуются системой (1), которая содержит два неравенства и одно уравнение. Преобразуем эту систему так, чтобы получить систему уравнений. Для этого введем дополнительные неизвестные х₃≥О и х₄≥0. Тогда систему (1) можно записать так:

(3)

Так как система (3) содержит 3 уравнения и 4 неизвестных, то одно из дополнительно введенных неизвестных, а именно х₄, будем считать свободным. Выразим теперь x₁, x₂ и х₃ через х₄. В результате получим

x₁= 4 + 2x₄, х₂= 8—x₄, х₃ = 6 —2x₄. (4)

Подставим x₁ и x₂ из (4) в линейную форму (2):

L= 12+6x₄+40-5x₄ = 52+x₄.

Из полученного равенства видно, что L будет возрастать, если будет возрастать свободное неизвестное х₄. Так как по условию x₃≥0 и x₄≥0, то из (4) следует, что х₄ не может быть более 3.

Положив x₄ = 3, получим из (4) х₁= 10, x₂= 5, х₃=0. Тогда линейная форма L = 3×10+5×5 = 55.

Теперь исследуем второе неизвестное х₃. Если из (4) x₁ и х₂ выразить через x₃ то получим х₁=10—х₃, х₂= 5+x₃/2. Тогда L= 3(10—x₃)+5(5+0.5x₃)=55 —0.5х₃.

Так как х₃≥О, то при возрастании x₃ будет убывать L. Таким образом, L имеет максимальное значение при x₁=10 и х₂ = 5, т. е. L_max=55.

Дата добавления: 2014-12-26