Ковариационный анализ

Основной задачей ковариационного анализа (так же как и обычного дисперсионного анализа) является проверка влияния качественного или количественного фактора на отклик. Однако здесь при каждом измерении вместе со значением отклика регистрируются значения одной или нескольких сопутствующих переменных (количественных со-факторов), которые также могут оказывать влияние на отклик, но это влияние желательно исключить при проверке основного факторного эффекта, то есть требуется рафинировать основной эффект от влияния сопутствующих переменных.

Фиксированные ковариаты. Предположим, что сравниваются математические навыки двух групп студентов, которые обучались по двум различным учебникам. Предположим также, что имеются дополнительные данные о коэффициенте интеллекта (IQ) каждого студента. Можно предположить, что коэффициент интеллекта связан с математическими навыками, и использовать эту информацию. Для каждой из двух групп студентов можно вычислить коэффициент корреляции между IQ и математическими навыками. Используя этот коэффициент корреляции, можно выделить долю дисперсии в группах, объясняемую IQ и необъясняемую долю дисперсии. Оставшаяся доля дисперсии используется при проведении анализа как дисперсия ошибки. Если имеется корреляция между IQ и математическими навыками, то таким образом можно существенно уменьшить дисперсию ошибки SS/(n-1).

Влияние ковариат на F критерий. F критерий оценивает статистическую значимость различия средних в группах, при этом вычисляется отношение межгрупповой дисперсии (MSошибка) к дисперсии ошибок (MSошибка). Если MSошибка уменьшается, например, при учете фактора IQ, значение F увеличивается.

Множество ковариат. Рассуждения, использованные выше для одной ковариаты (IQ), легко распространяются на несколько ковариат. Например, кроме IQ, можно включить измерение мотивации, пространственного мышления и т.д. Вместо обычного коэффициента корреляции при этом используется множественный коэффициент корреляции (см. Множественная регрессия).

Случай, когда значение F-критерия уменьшается. Иногда введение ковариат в план эксперимента уменьшает значение F-критерия. Обычно это указывает на то, что ковариаты коррелированы не только с зависимой переменной (например, математическими навыками), но и с факторами (например, с разными учебниками). Предположим, что IQ измеряется в конце семестра, после почти годового обучения двух групп студентов по двум разным учебникам. Хотя студенты разбивались на группы случайным образом, может оказаться, что различие учебников настолько велико, что и IQ и математические навыки в разных группах будут сильно различаться. В этом случае, ковариаты не только уменьшают дисперсию ошибок, но и межгрупповую дисперсию. Другими словами, после контроля за разностью IQ в разных группах, разность в математических навыках уже будет несущественной. Ту же мысль можно выразить иначе: после "исключения" влияния IQ, неумышленно исключается и влияние учебника на развитие математических навыков.

Скорректированные средние. Когда ковариата влияет на межгрупповой фактор, следует вычислять скорректированные средние, т.е. такие средние, которые получаются после удаления всех оценок ковариат.

Взаимодействие между ковариатами и факторами. Также как исследуется взаимодействие между факторами, можно исследовать взаимодействия между ковариатами и группами факторов. Предположим, что один из учебников особенно подходит для «умных» студентов. Второй учебник для «умных» студентов скушен, а для менее умных студентов этот же учебник труден. В результате имеется положительная корреляция между IQ и результатом обучения в первой группе (более «умные» студенты, лучше результат) и нулевая или небольшая отрицательная корреляция во второй группе (чем умнее студент, тем менее вероятно приобретение математических навыков из второго учебника). В некоторых исследованиях эта ситуация обсуждается как пример нарушения предположений ковариационного анализа (см. Предположения и последствия их нарушения). Однако так как Дисперсионный анализ использует самые общие способы ковариационного анализа, можно, в частности, оценить статистическую значимость взаимодействия между факторами и ковариатами.

Переменные ковариаты. В то время как фиксированные ковариаты обсуждаются в учебниках достаточно часто, переменные ковариаты упоминаются намного реже. Обычно, при проведении экспериментов с повторными измерениями, нас интересуют различия в измерениях одних и тех же величин в разные моменты времени. А именно, нас интересует значимость этих различий. Если одновременно с измерениями зависимых переменных проводится измерение ковариат, можно вычислить корреляцию между ковариатой и зависимой переменной. Например, можно изучать интерес к математике и математические навыки в начале и в конце семестра. Интересно было бы проверить, скоррелированы ли между собой изменения в интересе к математике с изменением математических навыков.

§ 5.5. Многомерные планы: Многомерный дисперсионный и ковариационный анализ

Межгрупповые планы. Все рассматриваемые ранее примеры включали только одну зависимую переменную. Когда одновременно имеется несколько зависимых переменных, возрастает лишь сложность вычислений, а содержание и основные принципы не меняются. Например, проводится исследование двух различных учебников. При этом изучаются успехи студентов в изучении физики и математики. В этом случае имеются две зависимые переменные и нужно выяснить, как влияют на них одновременно два разных учебника. Для этого можно воспользоваться многомерным дисперсионным анализом. Вместо одномерного F критерия, используется многомерный F критерий (лямбда-критерий Уилкса), основанный на сравнении ковариационной матрицы ошибок и межгрупповой ковариационной матрицы. Если зависимые переменные скоррелированы между собой, то эта корреляция должна учитываться при вычислении критерия значимости. Очевидно, если одно и то же измерение повторяется дважды, то ничего нового получить при этом нельзя. Если к имеющемуся измерению добавляется коррелированное с ним измерение, то получается некоторая новая информация, но при этом новая переменная содержит избыточную информацию, которая отражается в ковариации между переменными.

Интерпретация результатов. Если общий многомерный критерий значим, можно заключить, что соответствующий эффект (например, тип учебника) значим. Однако встают следующие вопросы. Влияет ли тип учебника на улучшение только математических навыков, только физических навыков, или одновременно на улучшение тех и других навыков. В действительности, после получения значимого многомерного критерия, для отдельного главного эффекта или взаимодействия исследуются одномерные F-критерии. Другими словами, отдельно исследуются зависимые переменные, которые вносят вклад в значимость многомерного критерия.

Планы с повторными измерениями. Если измеряются математические и физические навыки студентов в начале семестра и в конце семестра, то это и есть повторные измерения. Изучение критерия значимости в таких планах это логическое развитие одномерного случая. Заметим, что методы многомерного дисперсионного анализа обычно также используются для исследования значимости одномерных факторов повторных измерений, имеющих более чем два уровня.

Суммы значений переменной и дисперсионный анализ. При использовании одномерного и многомерного дисперсионного анализа часто приходят в затруднение, получая разные результаты при применении многомерного дисперсионного анализа, например, для трех переменных, и при применении одномерного дисперсионного анализа к сумме этих трех переменных, как к одной переменной. Идея суммирования переменных состоит в том, что каждая переменная содержит в себе некоторую истинную переменную, которая и исследуется, а также случайную ошибку измерения. Поэтому при усреднении значений переменных, ошибка измерения будет ближе к 0 для всех измерений и усредненное значений будет более надежным. На самом деле, в этом случае применение дисперсионного анализа к сумме переменных разумно и является мощным методом. Однако, если зависимые переменные по своей природе многомерны, то суммирование неуместно. Например, пусть зависимые переменные состоят из четырех показателей успеха в обществе. Каждый показатель характеризует совершенно независимую сторону человеческой деятельности (например, профессиональный успех, преуспевание в бизнесе, семейное благополучие и т.д.). Сложение этих переменных подобно сложению яблока и апельсина. Сумма этих переменных не будет подходящим одномерным показателем. Поэтому с такими данными нужно обходиться как с многомерными показателями в многомерном дисперсионном анализе.

Дата добавления: 2014-12-26