Вычислительные методы

Логика многомерного шкалирования

Предположим, что имеется матрица попарных расстояний (т.е. сходства некоторых признаков) между объектами (например, по результатам социометрического выбора). Анализируя матрицу, стремятся расположить точки с координатами объектов в двумерном пространстве (на плоскости), максимально сохранив реальные расстояния между ними. В общем случае метод МНШ позволяет таким образом расположить "объекты" в пространстве некоторой небольшой размерности (в данном случае она может быть равна двум – неформальный статус в группе и официальный должностной статус), чтобы достаточно адекватно воспроизвести наблюдаемые расстояния между ними. В результате можно "измерить" эти расстояния в терминах найденных латентных переменных. Так, в нашем примере можно объяснить расстояния в терминах формальной-неформальной ролевой теории.

Ориентация осей координат. Как и в факторном анализе, ориентация осей может быть выбрана произвольной. Таким образом, окончательная ориентация осей на плоскости или в пространстве является, в большей степени результатом содержательного решения в конкретной предметной области (т.е. решением пользователя, который выберет такую ориентацию осей, которую легче всего интерпретировать). В примере можно было бы выбрать ориентацию осей, отличающуюся от пары «формальный – неформальный статус», однако последняя удобнее, как "наиболее осмысленная" и естественная для содержательной валидности.

Многомерное шкалирование - это не просто определенная процедура, а скорее способ наиболее эффективного размещения объектов, приближенно сохраняющий наблюдаемые между ними расстояния. Другими словами, МНШ размещает объекты в пространстве заданной размерности и проверяет, насколько точно полученная конфигурация сохраняет расстояния между объектами. МНШ использует алгоритм минимизации некоторой функции, оценивающей качество получаемых вариантов отображения.

Меры качества отображения. Мерой, наиболее часто используемой для оценки качества подгонки модели (отображения), измеряемого по степени воспроизведения исходной матрицы сходств, является так называемый стресс. Величина стресса Phi в для текущей конфигурации определяется так:

Phi = [d_ij - f ( _ij)]²

Здесь d_ij - воспроизведенные расстояния в пространстве заданной размерности, а _ij (дельта_ij) - исходное расстояние. Функция f ( _ij) обозначает неметрическое монотонное преобразование исходных данных (расстояний). Таким образом, МНШ воспроизводит не количественные меры сходств объектов, а лишь их относительный порядок.

Обычно используется одна из несколько похожих мер сходства. Тем не менее, большинство из них сводится к вычислению суммы квадратов отклонений наблюдаемых расстояний (либо их некоторого монотонного преобразования) от воспроизведенных расстояний. Таким образом, чем меньше значение стресса, тем лучше матрица исходных расстояний согласуется с матрицей результирующих расстояний.

Диаграмма Шепарда. Можно построить для текущей конфигурации точек график зависимости воспроизведенных расстояния от исходных расстояний. Такая диаграмма рассеяния называется диаграммой Шепарда. По оси ординат OY показываются воспроизведенные расстояния (сходства), а по оси OX откладываются истинные сходства (расстояния) между объектами (отсюда обычно получается отрицательный наклон). На этом график также строится график ступенчатой функции. Ее линия представляет так называемые величины D-с крышечкой, то есть, результат монотонного преобразования f() исходных данных. Если бы все воспроизведенные результирующие расстояния легли на эту ступенчатую линию, то ранги наблюдаемых расстояний (сходств) был бы в точности воспроизведен полученным решением (пространственной моделью). Отклонения от этой линии показывают на ухудшение качества согласия (т.е. качества подгонки модели).

§ 10.5. Задание размерности пользователем

Чем больше размерность пространства, используемого для воспроизведения расстояний, тем лучше согласие воспроизведенной матрицы с исходной (меньше значение стресса). Если взять размерность пространства равной числу переменных, то возможно абсолютно точное воспроизведение исходной матрицы расстояний. Однако нашей целью является упрощение решаемой задачи, с тем, чтобы объяснить матрицу сходства (расстояний) в терминах лишь нескольких важнейших факторов (латентных переменных или вспомогательных шкал). Возвращаясь к нашему примеру, если получена двумерная модель анализа взаимодействий, намного проще анализировать отношения в группе, чем если бы имелась только матрица попарных социометрических расстояний.

Причины плохого качества отображения. Обсудим, почему уменьшение числа факторов (или вспомогательных шкал) может приводить к ухудшению представления исходной матрицы. Конкретная матрица расстояний (сходств) связана с числом искомых латентных переменных (размерностью результирующего пространства). Конечно, "реальные" данные никогда не являются такими "точными", и содержат случайный шум, т.е. случайную изменчивость, влияющую на различие между воспроизведенной и исходной матрицей.

Критерий "каменистой осыпи". Обычно, для выбора размерности пространства, в котором будет воспроизводится наблюдаемая матрица, используют график зависимости стресса от размерности (график каменистой осыпи). Этот критерий впервые был предложен Кэттелом (Cattell (1966)) в контексте решения задачи снижения размерности в факторном анализе; Краскал и Виш (Kruskal and Wish (1978) обсуждали применение этого графика в методе МНШ.

Кэттел предложил найти такую абсциссу на графике (в методе ФА, по оси абсцисс идут собственные значения), в которой график стресса начинает визуально сглаживаться в направлении правой, пологой его части, и, таким образом, уменьшение стресса максимально замедляется. Образно говоря, линия на рисунке напоминает скалистый обрыв, а черные точки на графике напоминают камни, которые ранее упали вниз. Таким образом, внизу наблюдается как бы каменистая осыпь из таких точек. Справа от выбранной точки на оси абсцисс, лежит только "факторная осыпь". Согласно этому критерию, на приведенном рисунке, скорее всего, следует выбрать для воспроизведения двумерное пространство.

Интерпретируемость конфигурации. Вторым критерием для решения вопроса о размерности с целью интерпретации является "ясность" полученной конфигурации точек. Иногда результирующие координаты легко интерпретируются. В других случаях, точки на графике могут образовывать ту или иную разновидность "случайного облака", и не существует непосредственного способа для интерпретации латентных переменных. В последнем случае следует постараться немного увеличить число координатных осей и рассмотреть получаемые в результате конфигурации. Чаще всего, получаемые решения проще удается проинтерпретировать. Однако если точки на графике не следуют какому-либо образцу, а также если график стресса не показывает какого-либо явного "изгиба" (и не похож на "край обрыва"), то данные скорее всего являются случайным "шумом".

Дата добавления: 2014-12-26