Теоретичні та довідкові дані

Комплексні числа та дії над ними

ПРАКТИКУМ 1

Комплексні числа в силу своїх властивостей складають особливий клас математичних об’єктів. Поява комплексного числа пов’язана з введенням уявної одиниці і, яка задовольняє співвідношення

(1.1)

Тобто, уявна одиниця і – таке спеціальне число, яке, будучи піднесене до квадрату, дорівнює мінус одиниці. Жодне дійсне число не задовольняє співвідношення (1.1).

За допомогою уявної одиниці і та пари дійсних чисел а, b комплексне число z можна подати у вигляді виразу

z = а + bі. (1.2)

Цей вираз є, по суті, відображенням z Þ (а, b), яке переносить комплексне число z з комплексного одновимірного простору в дійсний евклідовий двовимірний простір. Кожному комплексному числу z ставиться у відповідністьлише одна пара дійсних чисел (а, b) та навпаки: z Û (а, b). Аксіоматично вводять певні дії над комплексними числами, які визначають їх властивості. Тому, комплексне число визначається як пара упорядкованих чисел (а, b) з певними властивостями. Комплексні числа утворюють поле комплексних чисел, яке є розширенням поля дійсних чисел. При b = 0 комплексне число стає дійсним, при a = 0 стає суто уявним.

Хоча комплексне число подається у вигляді ускладненої конструкції (1.2), воно дозволяє простіше встановлювати певні зв’язки між дійсними об’єктами. Вивчення функцій у комплексній області дозволяє одержати досконаліші результати. Тому, комплексні числа та функції комплексної змінної знайшли широке застосування в різних галузях науки та техніки, в тому числі в цифровій обробці сигналів.

Дата добавления: 2014-12-23