Напряженность поля для различных конфигураций его источника

Теорема Гаусса часто позволяет найти напряженность поля гораздо более простыми средствами, чем с использованием формулы (5) для напряженности поля точечного заряда и принципа суперпозиции полей.

Введем определения:

Объемная плотность заряда определяется по аналогии с обычной плотностью следующим образом:

где D q – заряд, заключенный внутри малого объема DV.

Поверхностная плотность заряда:

где D q – заряд, находящийся на элементе поверхности DS.

Линейная плотность заряда:

где D q – заряд, находящийся на отрезке цилиндрического тела, имеющем длину D l

С использованием теоремы Гаусса получим значения напряженностей для ряда часто используемых случаев распределения зарядов.

1. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости. Плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностью s; для определенности будем считать заряд положительным. Из соображений симметрии: Е в любой точке поля перпендикулярна к плоскости. В самом деле, поскольку плоскость бесконечна и заряжена однородно (т. е. с постоянной плотностью), нет никаких оснований к тому, чтобы сила, действующая на пробный заряд,

Рис. 12

отклонялась в какую-либо сторону от нормали к плоскости.

Очевидно, что в симметричных относительно плоскости точках Е одинакова по величине и противоположна по направлению.

Введем в рассмотрение цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикулярными к плоскости и основаниями величины DS, расположенными относительно плоскости симметрично (рис. 12). Применим к этой поверхности теорему Гаусса. Поток через боковую часть поверхности будет отсутствовать, поскольку Е _n в каждой ее точке равна нулю. Для оснований Е _n совпадает с E. Следовательно, суммарный поток через поверхность будет равен 2 E D S. Внутри поверхности заключен заряд s D S. Согласно теореме Гаусса должно выполняться условие

откуда

(8.5)

Полученный нами результат не зависит от длины цилиндра. На любых расстояниях от плоскости напряженность поля одинакова по величине.

Рис. 13.

Рис. 14.

Картина линий напряженности выглядит так, как показано на рис. 13. Для отрицательно заряженной плоскости результат будет таким же, лишь направление вектора Е и линий напряженности изменится на обратное.

Если плоскость конечных размеров (заряженная тонкая пластинка), полученный выше результат будет справедливым лишь для точек, расстояние которых от края пластинки значительно превышает расстояние от самой пластинки (на рис. 14 область этих точек обведена пунктирной кривой). По мере удаления от плоскости или приближения к ее краям поле будет все больше отличаться от поля бесконечной заряженной плоскости. На больших расстояниях, значительно превышающих размеры пластинки, создаваемое ею поле можно рассматривать как поле точечного заряда.

Дата добавления: 2015-04-24