Математический анализ. Часть II

Раздел 5. Интегральное исчисление функций одной переменной

1. Первообразная функции и неопределенный интеграл. Таблица неопреде­ленных интегралов. Свойства неопределенного интеграла. Замена пере­менной в неопределенном интеграле, интегрирование по частям.

2. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование неко­торых классов иррациональных и трансцендентных функций.

3. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Опреде­ленный интеграл (по Риману) и его свойства. Интегрируемость непрерыв­ной функции. Аддитивность определенного интеграла. Теорема о сред­нем.

4. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле, интегрирование по частям.

5. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисле­ние площади криволинейной трапеции и объема тела вращения.

6. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неог­раниченных функций. Признаки сходимости несобственных интегралов.

7. Примеры применения определенного интеграла в экономике (нахождение функции издержек, определение коэффициента Джинни, дисконтированного дохода).

Раздел 6. Числовые и степенные ряды

7. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимый при­знак сходимости.

8. Числовые ряды с положительными членами критерий сходимо­сти. Достаточные признаки сходимости: первый и второй признаки срав­нения, признак Даламбера и Коши в предельной форме, интегральный признак Коши.

9. Знакочередующиеся ряды Признак Лейбница. Оценка остатка ряда. Абсолютно сходящиеся ряды и их свойства. Условно сходящиеся ряды.

10. Степенные ряды. Теорема Абеля. Область, интервал и радиус сходимости степенного ряда. Свойства степенного ряда на интервале схо­димости.

11. Ряд Маклорена. Достаточные условия разложимости функции в Маклорена. Разложения функций е^x,sinх, cosx, (1 + х)ⁿ, 1п(1 + х) и arctgx в ряд Маклорена. Степенные ряды с произвольным центром их ин­тервалы сходимости. Ряд Тейлора.

Раздел 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения n-го порядка, ос­новные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка, нор­мальная форма. Поле направлений, интегральные кривые. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка в нормальной форме. Общее и частное реше­ния дифференциального уравнения. Общий интеграл. Особые решения

2. Некоторые типы интегрируемых уравнений первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, однородные, в полных диф­ференциалах, линейные, Бернулли. Автономные уравнения и их свойства.

3. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков, однородные и неоднородные.

Теорема об общем решении линейного не­однородного уравнения. Пространство решений линейного однородного уравнения, фундаментальная система решений. Определитель Вронского системы решений. Теорема об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения.

4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэф­фициентами (на примере уравнений второго порядка). Характеристиче­ское уравнение и фундаментальная система решений однородного урав­нения. Построение частного решения неоднородного уравнения с правой частью специального вида методом неопределенных коэффициентов.

5. Однородные системы линейных уравнений с постоянными коэф­фициентами. Векторная запись, матрица системы. Собственные значения и собственные векторы матрицы системы, частные решения системы. Фундаментальный набор решений и общее решение системы уравнений в случае существования базиса из собственных векторов. Построение обще­го решения с помощью метода исключения неизвестных

6. Задачи экономической динамики, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Модели естественного илогистического роста.

Дата добавления: 2015-04-24