Элементы математической статистики

Математическая статистика – это прикладной раздел теории вероятностей, занимающийся обработкой статистических данных, для получения научно обоснованных выводов.

С помощью математической статистики получено великое множество обоснований важных для деятельности человека заключений. В частности, установлено, что процент рождения мальчиков среди новорожденных несколько больше 50, но он меняется от года к году. Существует суеверие, что резкий рост рождаемости мальчиков предвещает войну.

С помощью статистических методов проводилось расследование резонансного дела по обвинению М.А. Шолохова в плагиате. Компьютерная обработка текстового материала доказала его авторство «Тихого Дона».

Обычно полученные в результате наблюдений данные представляют собой набор чисел (объектов). Если это возможно, проводят сплошное обследование, т.е. обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, представляющего интерес. Например, при выявлении бракованных деталей. На практике такое сплошное обследование применяется редко. Если совокупность содержит очень большое число объектов, провести сплошное обследование физически невозможно. Другой случай, когда производимые изделия в результате обследования теряют работоспособность. Например, исследование ресурса запущенных в серию самолетов. Если в результате эксперимента нужно установить, сколько циклов «взлет, полет, посадка» может выдержать самолет, дальнейшее использование этого самолета невозможно. При таком исследовании всех самолетов выпущенной серии, летать будет не на чем.

В подобных случаях случайным образом отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка (в нашем примере вся серия выпущенных заводом самолетов).

Выборочной совокупностью, или выборкой, называют совокупность случайно отобранных из генеральной совокупности объектов.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности.

Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100, то - объем генеральной совокупности, - объем выборки.

Выборку называют повторной, если отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Выборку называют бесповторной, если отобранный объект (перед отбором следующего) не возвращается в генеральную совокупность.

На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором.

Выборка считается репрезентативной (представительной), если она правильно и достаточно полно представляет генеральную совокупность.

Выборка будет репрезентативной, если ее осуществлять случайным образом, причем все объекты должны иметь одинаковую вероятность попасть в выборку. Для этого используют таблицы случайных величин, составляемые с помощью компьютера.

Этапы обработки выборки.

1) Составление вариационного ряда, то есть расположение всех объектов выборки (вариант) в порядке возрастания , где .

2) Составление дискретной таблицы частот

		…
		…

- число всех измерений,

- это частоты, появления ,

- это относительные частоты.

Причем .

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Замечание. В теории вероятности под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми вариантами и частотами их появления, или относительными частотами.

Графической иллюстрацией дискретной таблицы является столбиковая диаграмма.

Частоты и относительные частоты пропорциональны, поэтому при построении столбиковой диаграммы по вертикальной оси можно указывать значения либо частот, либо относительных частот.

Если соединить вершины вертикальных отрезков, получится ломанная, которая называется полигоном частот.

Пример: Курс математики прослушало 20 человек. Полученные на экзамене оценки 5,3,4,5,4,3,3,5,4,3,5,5,2,3,2,5,3,3,4,3. Статистическое распределение:

Полигон частот:

Если число различных значений в выборке велико, вычислять частоту каждого из них не имеет смысла. Например, если все значения в выборке различные,то частота их появления равна 1

		…
		…

Понятно, что такая таблица не добавляет наглядности и информативности.

Поступают следующим образом: Весь промежуток изменения значений выборки разбивают на интервалы. После этого подсчитывают число значений из выборки, попадающей в каждый интервал. В результате получаем интервальную таблицу.

		…
		…

где n – число всех измерений, m – количество интервалов, - количество чисел, приходящихся на i - й интервал, - относительная частота.

Длины интервалов должны быть одинаковыми.

Графической иллюстрацией интервальной таблицы частот является гистограмма.

b₁ b₂ … b_m

Число интервалов выбирают из соображений наглядности, обычно 2 <m<20.

Пример. Студенты некоторой группы, состоящей из 25 человек, написали контрольную работу. И набрали 75,145, 150, 180, 125, 150, 150, 165, 95, 135, 130, 70, 130, 105, 135, 135, 100, 160, 60, 85, 120, 60, 145, 150, 135 баллов. Построим гистограмму частот. Минимальное значение = 60, максимальное – 180. Разобьем на 6 частей 180-60=120, 120/6=20

60 80 100 120 140 160 180

Эмпирическая функция распределения (статистическая функция)

Все важнейшие характеристики случайной величины
могут быть получены при известном ее распределении. В задачах математической статистики функция распределения генеральной совокупности чаще всего является неизвестной. Однако, основываясь на выборке, можно построить хорошее приближение для неизвестной функции распределения. Эмпирическую функцию распределения выборки строят так:

,

где - число значений выборки, меньших x.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки, интегральную функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между и состоит в том, что - вероятность события (теоретическая, предсказанная до наблюдения за событием), а - относительная частота совершившихся события.

Мы знаем, что . Значит, можно использовать эмпирические функции распределения выборки для приближенного представления теоретической функции распределения генеральной совокупности. При этом у эмпирической функции те же свойства, что у функции :

1) . Т.к. вероятность всегда меньше 1 и больше 0.

2) - неубывающая функция, т.е. , если .

Пример:

xi	2	6	10
ni	12	18	30

Объем выборки n= 12+18+30=60.

Если , то .

Если , то .

Если , то .

Если , то .

График этой функции

Дата добавления: 2015-04-24