Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора

Теорема Абеля

Степенные ряды. Теорема Абеля.

Функциональный ряд , где C_n- числовая послед-ть наз-ся степенным рядом.

ПР:

Степенной ряд сходится на интервале (x₀-R, x₀+R) с центром в точке х₀.

Число R- радиус сходимости степенного ряда может быть вычислено по формулам: R= или R=

Степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке, целиком лежащим внутри сходимости. Сходимость степенного ряда на границах интервала сходимости необходимо исследовать специально для конкретного ряда.

· Если степенной ряд сходится при некоторых х= , где -число неравное нулю, то он сходится абсолютно при всех значениях таких что <

· если ряд сходится при х= , то он расходится при всех значениях х, таких что ˃

При исследовании св-в бесконечно дифференцируемых функций изучают их степенные ряды – ряды Тейлора.

· Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀ и имеет в этой точке производные всех порядков.

Ряд Т(х)= наз-ся рядом Тейлора f(x) в точке х₀

ф-ия f(x) может быть разложена в степенной ряд на интервале (x₀-R, x₀+R) если существует степенной ряд, сходящийся к f(x) на этом интервале, т.е. f(x)=

· Пусть функция f(x) бесконечто диффериенцируема на интервале (x₀-R, x₀+R) и все её производные ограничены в совокупности на этом интервале, т.е. существует число M>0, такое, что для всех Х€(x₀-R, x₀+R) и для всех n=1,2.. справедливо нер-во | (x)|≤M. Тогда ряд Тейлора сходится к f(x) для всех Х€(x₀-R, x₀+R).

Дата добавления: 2015-04-24