КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Контрольная работа 1 страница. Межрегиональный центр переподготовки специалистов
Дисциплина Межрегиональный центр переподготовки специалистов «Экономико-математические методы и модели в отрасли связи» Вариант № 9
ЗАДАЧА № 1 На территории города имеется три телефонных станции: А, Б и В. Незадействованные емкости станций составляют: на станции А - QА=1600 номеров, на станции Б - QБ=800 номеров, на станции В - QВ=400 номеров. Потребности новых районов застройки города в телефонах составляют: 1 - q1=800 номеров, 2 - q2=900 номеров, 3 - q3=400 номеров, 4 - q4 = 700 номеров. Необходимо составить экономико-математическую модель задачи и с помощью распределительного или модифицированного метода линейного программирования найти вариант распределения емкостей телефонных станций между районами новой застройки, который обеспечивал бы минимальные затраты как на строительство, так и на эксплуатацию линейных сооружений телефонной сети. Естественно, что таким вариантом при прочих равных условиях будет такое распределение емкости, при котором общая протяженность абонентских линий будет минимальной.
Исходные данные:
Таблица 1.1, Незадействованные ёмкости телефонных станций.
Таблица 1.2, Спрос на установку телефонов.
Таблица 1.3, Среднее расстояние от станции до районов застройки, км.
Решение:
Решение начнем с проверки соотношения между суммарной незадействованной емкостью телефонных станций и суммарным спросом на установку телефонов.
QA+QБ+Qв= q1+q2+q3+q4 =1600+800+400=800+900+400+700=2800 Задачи, в которых соблюдается равенство суммарной возможности пунктов отправления суммарному спросу пунктов назначения, называются транспортными задачами закрытого типа. Задача заключается в нахождении такого распределения емкости, при котором общая протяженность абонентских линий была бы минимальной, т.е Для решения задачи используем способ «наименьшего элемента», т.к этот метод позволяет получить решение более близкое к оптимальному.
Из всех расстояний от станции до районов застройки выбираем наименьшую. Такой минимальной ценой в нашем примере является элемент Б3, равный 1. С клетки Б3 следует начинать составление опорного плана. Спрос района 3 составляет 400 номеров, а станция Б может обеспечить 800 номеров. Следовательно, спрос района 3 может быть полностью удовлетворен за счет станции Б. При этом остаток свободных номеров станции Б составляет 400 ед. Вследствие того, что спрос района 3 удовлетворен полностью, столбец 3 в исходной таблице можно вычеркнуть. Наименьшими элементами, в оставшейся части таблицы являются Б2 и В4, выберем В4 наименьший элемент равен 2. Спрос района 4 полностью удовлетворяется станцией В. Вследствие того, что свободная номерная емкость станции В полностью использована, строку В исходной таблицы можно вычеркнуть. Так как элементов равных 2 было два следующей заполняем клетку Б2, спрос 2 района будет удовлетворен не полностью, так как на станции Б осталось всего 400 свободных номеров, которые мы и проставляем в данную клетку, после чего строку Б можно вычеркнуть. У нас осталась незаполненными клетки А1, А2 и А4 которые можно заполнить единственным образом, за счет станции А в соответствии со спросом.
Полученное методом наименьшего элемента решение задачи показано в таблице 3 протяженность линий согласно этому решению составит: 800 * 4 + 500 * 5 + 300 * 4 + 400 * 2 + 400 * 1 + 400 * 2 = 8100 км.
Составим таблицу модифицированного распределительного метода, принимая в качестве исходного решение по методу наименьшего элемента. Основное отличие модифицированного распределительного метода заключается в порядке исследования свободных мест таблицы с помощью дополнительных строки и столбца.
Первый этап расчетов заключается в определении значений клеток, образующих дополнительную строку и дополнительный столбец. Во всех случаях верхняя клетка дополнительного столбца (строка А) получает значение 0. Этот 0 будет фигурировать в процессе всего решения. Рассчитаем значения других дополнительных клеток. Если значения клеток, образующих дополнительный столбец, обозначить через UА, UБ, UВ, а значение клеток, образующих дополнительную строку – V1, V2, V3 и V4, то исходным положением для расчета их значений будет равенство Ui + Vj = - Сij, где Сij – среднее расстояние от станции до районов застройки и клетка на пересечении рассматриваемых строки и столбца. При этом определяются значения клеток тех столбцов и строк, пересечения которых образуют занятые места.
Начнем с первой клетки дополнительного столбца, значение которой принято равным 0. Для столбца, соответствующего району 1, имеем 0+V1 = -4; отсюда V1 = -4. Для столбца 2: 0 + V2 = -5; V2 = -5. Для столбца 4: 0 + V4 = -4; V4 = -4 Для столбца 3 в строке А такого равенства составить нельзя, так как клетки А3 является свободным местом. Аналогично составим уравнения для строки Б: UБ + V2 = -2; так как V2 = -5, получим: UБ = -2 +5 = 3; 3 + V3 = -1; V3 = 2. Для строки В: UB + V4 = -2. Но поскольку V4 = -4, то UB = 2.
Получены значения всех клеток, образующих дополнительные строку и столбец. Эти значения записываются на соответствующие места в таблице:
Найденные значения клеток позволяют провести исследование свободных мест. Его целью является выявление отрицательных свободных мест. Если Ui + Vj меньше соответствующего значения расстояния (в клетке на пересечении i-й строки и j-го столбца), взятого с обратным знаком, то свободное место (i, j) отрицательно и решение может быть улучшено.
Для свободных мест: В3 2 – 4 > -5.
Неравенства показывают, что характеристики всех свободных мест положительные, значит план оптимальный.
ЗАДАЧА № 2
Необходимо оценить работу автоматической телефонной станции (АТС), которая имеет n=8 линий связи. Моменты поступления вызовов на станцию являются случайными и независимыми друг от друга. Средняя плотность потока равна λ=1 вызову в единицу времени. Продолжительность каждого разговора является величиной случайной и подчинена показательному закону распределения. Среднее время одного разговора равно tобс = 2 единицы времени.
Автоматические телефонные станции относятся к типу систем обслуживания с потерями (с отказами). Абонент получает отказ в случае, если все линии заняты. Для определения основных показателей работы АТС необходимо рассчитать значение поступающей нагрузки в Эрлангах Ψ и вероятности, что из n-линий k будет занято Для расчета используются формулы:
Далее следует определить вероятность отказа Ротказа, среднее число занятых и среднее число свободных линий, коэффициенты занятости и простоя линий и сделать вывод о качестве обслуживания абонентов и эффективности использования линий связи.
Исходные данные:
Решение:
1. Определим значение поступающей нагрузки Ψ по формуле = 1·2=2 2. Найдем вероятность того, что все линии связи свободны по формуле: , где n количество линий связи, к=1,2,…,n Вероятность того, что все линии связи будут свободны, составляет 13,5%
3. Рассчитаем вероятности занятости k-линий из n, по формуле k=1, k=2, k=3, =0,18 k=4, k=5, k=6, k=7, k=8,
4. Найдем вероятность того, что все линии связи заняты, т.е. вероятность отказа, по формуле:
Вероятность отказа равна 8,5%.
5. Найдем среднее число занятых линий по формуле:
Среднее число занятых линий равняется 1,99.
6. Коэффициент занятости линий = 7. Найдем среднее число свободных линий по формуле: Среднее число свободных линий равно 5,99
8.Коэффициент простоя линий
Коэффициент простоя можно было посчитать другим методом 1-0,25=0,75
Вывод: качество обслуживания абонентов приемлимое, потому как вероятность отказа составляет 8,5%, но эффективность использования линий низкая, потому что очень высокий процент простоя линий связи 75%.
ЗАДАЧА № 3 В таблице приведены затраты времени почтальона (в минутах) на проход между пунктами доставки на участке. Используя метод "ветвей и границ", найти маршрут почтальона, при котором затраты времени на его проход будут минимальными. Исходные данные.
Решение:
Задачу решаем методом теории графов, известным как метод "ветвей и границ". Матрица считается приведенной, если в каждой строке и каждом столбце содержит не менее одного нуля. Для приведения исходной матрицы сначала в каждой строке находится наименьший элемент и вычитается из элементов своей строки, затем в приведенной по строкам матрице в каждом столбце находится наименьший элемент и вычитается из элементов своего столбца – получается приведенная матрица. Обозначим за Г множество всех обходов почтальона (т. е. всех простых ориентированных остовных циклов). Поскольку граф – полный, это множество заведомо не пусто. Сопоставим ему число φ(Г), которое будет играть роль значения на этом множестве оценочной функции: это число равно сумме констант приведения данной матрицы весов дуг графа и является оценкой снизу для стоимости минимального тура коммивояжёра. Приведённую матрицу весов данного графа следует запомнить, обозначим ее через С1. Подсчитаем φ(Г). Для этого выполним приведение матрицы весов. Сначала – по строкам:
Теперь − по столбцам:
Сумма констант приведения φ(Г)=2+7+6+2+14+7+4+7=49.
Обозначим полученную матрицу через С1 и найдём в ней самый тяжёлый нуль. Заметим, что замена нулевого элемента на ¥ приводит к изменению лишь двух слагаемых суммы констант приведения φ(Г) – по одному при приведении строк и столбцов. Поэтому вес нуля можно определить суммированием наименьших элементов его строки и столбца. Например, вес нуля в первой строке и четвёртом столбце складывается из минимума по первой строке, равного 6 (cА,Г=cА,Д=6), и минимума по четвёртому столбцу Г, равного 0 (cГ,В=0), без учета самого cА,Г. Итак, запишем приведённую матрицу еще раз, указывая рядом с каждым нулем его вес:
Самым тяжелым оказывается нуль в клетке (А,Г). Разобьём множество Г на две части: множество (все циклы, проходящие через дугу (А,Г)) и (все циклы, не проходящие через дугу (А,Г)). Такое ветвление определяет необходимость выбора одного из этих вариантов. Множеству соответствует матрица С1,1, полученная вычёркиванием соответствующих строки (строку А) и столбца (столбец Г). У оставшихся строк и столбцов сохраним их исходные номера. Разумеется, вместе с вычёркиванием строки и столбца, в матрице надо заменить на ∞; числа в определённых клетках так, чтобы не получалось коротких циклов (длиной меньше n). В данном случае из города Г мы уже не можем проехать в город А, поэтому в клетке (А,Г) ставим знак ∞.
Сумма констант приведения матрицы С1,1 здесь равна 7, поэтому φ(Г{(А,Г)})= φ{А,Г}=49+7=56. Сопоставим результат φ(Г{(i,j)}) множеству Г{(i,j)}, (в нашем случае Г{(А,Г)}). Множеству (в нашем случае ), в свою очередь, соответствует другая матрица – С1,2, полученная заменой на ∞ элемент сА,Г в матрице С1:
Дата добавления: 2015-04-24; Просмотров: 361; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |